Images et noyaux itérés

Posté par matrix001 matrix001

Bonjour, voici l'énoncé de l'exercice sur lequel j'aimerais avoir un peu d'aide.

Soit E un ev sur K de dimension finie n1 et f L(E).
On définit la suite (f^p)_p par: f⁰= Id_E et p , f^p+1=f^pof

Pour tout p, on pose K_p=Ker(f^p) et I_p=Im(f^p).

1) Montrer que I_p+1 I_p et K_p K_p+1

C'est à partir de cette question que je ne sais pas comment m'y prendre:
2) Montrer que la suite (K_p) est d'abord strictement croissante ( pour l'inclusion) puis stationnaire à partir d'un certain rang p₀n.
Faire de même pour (I_p)

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par Matouille2b Matouille2b

Bonsoir

Déja à l'aide du théorème du rang, connaissant le résultat pour Kp tu peux facilement en déduire celui sur Ip (à savoir qu'elle est strictement décroissante stationnaire à partir d'un certain rang)

Pour Kp l'idéal serait de raisonner avec dim Kp et de montrer qu'il s'agit d'une suite d'entier naurel strictement decroissante donc stationnaire égale à 0 a partir d'un certain rang ...

Voila j'espere que je ne t'en ai pas trop dit

Posté par matrix001 matrix001

Merci pour le tuyau ^^
J'essaierai, et je te donnerai des nouvelles

Posté par veleda veleda

bonjour matrix001
les dimensions des noyaux forment une suite d'entiers croissante majorée par n il y a donc nécessairement deux noyaux de même dimension donc deux noyaux consécutifs de même dimension -le nombre de noyaux distincts est au plus égal  à n+1
il faut montrer que si K_p=K_P+1 (1)les noyaux suivants sont tous égaux à K_p

soit x un vecteur quelconque de K_p+2 et y=f(x)
on a doncf^p+2(x)=0=>f^p+1(y)=0=>y est dans K_p+1donc y est dans K_p d'aprés (1)
on a donc f^p(y)=0 soit f^P(f(x))=0 c'est à dire f^p+1(x)=0 doncx est un vecteur de K_p+1
on a donc
K_p+2K_p+1
et
K_p+1K_p+2
donc K_p=K_p+1=K_p+2=.......

donc il existe un entier p₀ n tel que la suite des noyaux est pour l'inclusion strictement croissante jusqu'a p₀et ensuite constante

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