Bonjour, voici l'énoncé de l'exercice sur lequel j'aimerais avoir un peu d'aide.
Soit E un ev sur K de dimension finie n1 et f L(E).
On définit la suite (fp)p par: f0= IdE et p , fp+1=fpof
Pour tout p, on pose Kp=Ker(fp) et Ip=Im(fp).
1) Montrer que Ip+1 Ip et Kp Kp+1
C'est à partir de cette question que je ne sais pas comment m'y prendre:
2) Montrer que la suite (Kp) est d'abord strictement croissante ( pour l'inclusion) puis stationnaire à partir d'un certain rang p0n.
Faire de même pour (Ip)
Merci d'avance pour votre aide.
Bonsoir
Déja à l'aide du théorème du rang, connaissant le résultat pour Kp tu peux facilement en déduire celui sur Ip (à savoir qu'elle est strictement décroissante stationnaire à partir d'un certain rang)
Pour Kp l'idéal serait de raisonner avec dim Kp et de montrer qu'il s'agit d'une suite d'entier naurel strictement decroissante donc stationnaire égale à 0 a partir d'un certain rang ...
Voila j'espere que je ne t'en ai pas trop dit
bonjour matrix001
les dimensions des noyaux forment une suite d'entiers croissante majorée par n il y a donc nécessairement deux noyaux de même dimension donc deux noyaux consécutifs de même dimension -le nombre de noyaux distincts est au plus égal à n+1
il faut montrer que si Kp=KP+1 (1)les noyaux suivants sont tous égaux à Kp
soit x un vecteur quelconque de Kp+2 et y=f(x)
on a doncfp+2(x)=0=>fp+1(y)=0=>y est dans Kp+1donc y est dans Kp d'aprés (1)
on a donc fp(y)=0 soit fP(f(x))=0 c'est à dire fp+1(x)=0 doncx est un vecteur de Kp+1
on a donc
Kp+2Kp+1
et
Kp+1Kp+2
donc Kp=Kp+1=Kp+2=.......
donc il existe un entier p0 n tel que la suite des noyaux est pour l'inclusion strictement croissante jusqu'a p0et ensuite constante
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