Approximation rationnelle d'une fonction

Posté par Tuck-Tuck Tuck-Tuck

Bonjour à tous,
j'aimerais soliciter votre aide car j'ai quelques petits problèmes avec un exercice d'analyse, voici l'énoncé:

Soit f définie sur par f(t)=t³ + t

Première partie : Etude de la fonction g, bijection réciproque de f
--->pas de problème et on trouve au final que pour tout x appartenant à, g³(x) + g(x) =x


Deuxième partie :
a) Montrer que g admet au voisinage de 0 un développement limité à tout ordre. L'expliciter à l'ordre 3.
--->J'ai utilisé la formule de Taylor-Young, mais je ne vois pas comment l'expliciter à l'ordre 3, car j'ai la dérivée première sans trop de problème : g'(x)= 1/(f'(x)o g(x)) soit g'(x)= 1/(3g²(x) +1

mais je n'arrive pas à expliciter la dérivée seconde et la dérivée troisième en fonction g?



b)Montrer que g(x)équivaut à x^1/3 au voisinage de +.

c) On écrit g(x) sous la forme x^1/3[1 + h(x)] où lim h=0 en + l'infini. Expliciter la relation satisfaite par h. En déduire que la fonction xx^1/3 h(x) admet en + l'infini une limite que l'on determinera.


Voila pour ces deux questions, je ne vois pas dutout où chercher.

Merci d'avance

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Le mieux est de dire que g(x)=ax+bx³+x³(x), de l'injecter dans l'équation et d'utiliser les coefficients indéterminés.

Posté par jolymily jolymily

pr montrer le DL à tout ordre, on peut dire que g est de classe C au voisinage de 0 dc admet un DL à tt ordre.

Je crois que c'est possible mais je suis pas très sûr ?

Pour le reste je bloque aussi !

Posté par Camélia Camélia

Pour l'existence du développement il suffit de vérifier que f'(0)0.

Pour l'avoir: g est impaire (comme f), donc g(x)=ax+bx³+o(x³). Alors

donc a=1 et a+b=0.

Posté par Tuck-Tuck Tuck-Tuck

merci beaucoup