Probabilité : fonction de répartition

Posté par juju783 juju783

bonjour

j'ai un exo qui me pose probleme:

Une variable aléatoire de Bernouilli de parametre p a pour distribution:

X=
1 p
0 q=1-p

(normalement c'est sous la forme d'une systeme)

On demande de calculez sa fonction de répartition et tracez son graphe



je viens de commencer et j'ai beaucoup de mal

deja je ne comprends pas trop le systeme posé : que signifie q ici ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bonjour,

Il faut comprendre que X prend la valeur 1 avec la probabilité p, et la valeur 0 avec la probabilité q = 1-p.

Nicolas

Posté par niparg niparg

bonjour
la définiton de la fonction de répartition, à savoir: x,F(x)=P(X<x)vous donne le résultat:
si x<=0 alors F(x)=0
si 0<x<=1 alors F(x)=1-p
si x>1 alors je vous laisse le soin de terminer
remarque: la fonction de répartition vous donne la "masse" de la demi droite ]-;x[

Posté par juju783 juju783

d'accrd, merci beaucoup

la prof a ecrit ensuite:

FX(x)=

0 si x < 0
p si 0 <= x <=1
1 si x>1

mais dou sort le x ?
et comment sait elle par exemple que pour x<0 Fx(x)=O et ainsi de suite?

j'ai pas compris ca :$

Posté par juju783 juju783

Merci niparg mais ce que je ne comprend pas c'est que dans le systeme il n'y a pas de x , alors dou sort il ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

La fonction de répartition est... une fonction !
Donc elle admet une variable.
La définition a été rappelée ci-dessus : F_X(x) = P(X < x)

Posté par juju783 juju783

ui mais j'ai vraiment du mal a comprendre cette fonction de répartition
pourquoi si 0<x<=1 alors F(x)=1-p, comment le sait on, vous le voyez a quoi?

désolée si je suis pas douée mais j'ai pas eu de cours avec vu que je tente de rattraper un programme,et bref les cours sur le net dont wikipédia jai du mal

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Quand x < 0
F(x) = P(X < x) = P(X < x < 0)
Or P(X < 0) = 0 puisque X ne peut prendre que les valeurs 0 et 1

Posté par juju783 juju783

le fait que X ne peut prendre que les valeurs 0 et 1 cest dans la definition générale de la fonction de répartition non?


Donc en suivant le meme raisonnement
Quand 0<x<1

F(x)= P( X < 0 < x < 1)

mais après je vois pas comment continuer..et arriver à p

Posté par juju783 juju783

Plus personne ?
je suis un cas desesperé? lol

J'aime bien les maths, mais la y'a quelque chose qui me bloque je ne sais pas quoi, et ca m'enervee

Posté par niparg niparg

pour toute variable aléatoire X on définit sa fonction de répartition  comme je l'ai fait dans le message  précédent: cette fonction  est définie sur et à valeurs dans [0;1]
je vais vous donner un moyen de retenir tout ceci:
se donner une variable aléatoire X par sa loi de probabilité ,c'est se donner une distribution de masse sur la droite ]- ; +[
dans votre exemple les points "massiques"(points de masse non nulle) sont: le point d'abscisse 0 qui a pour masse q=1-p et le point d'abscisse 1 qui a pour masse p (la masse totale q+p=1)
dans le message précédent je vous ai dit que pour tout x réel F(x)= masse de la demi droite ]-;x[  
si par exemple vous prenez x<0 la demi droite]-;x[ ne contient pas de points "massiques" donc F(x)=0
pour x=0 la demi droite]-;0[ ne contient pas de point "massique" on a aussi F(x)=0
si vous prenez 0<x<1 la demi droite]-;x[  contient un point "massique" le point d'abscisse 0 de masse q on a donc F(x)=q et ainsi de suite
(je vous conseille de faire un dessin)

           (q)     (p)
------[---|--------|---------->  ici F(x)=0 même si x=0
      x   0        1

          (q)      (p)
----------|---[----|---------->  ici F(x)=q même si x=1
          0   x    1

Posté par juju783 juju783

d'accord merci

mais la prof a ecrit:

si 0<x<1 alors f(x)=p

or vous vous dites q, qui a raison?

Posté par niparg niparg

"j'ai raison" car prob(X=0)=q et prob(X=1)=p si vos données sont exactes??

Posté par juju783 juju783

ok merci

et je vais finir :

pour x > 1 la demi droite ]-oo,x[ contient 2  points massique d'abcisse 0 et 1 ? donc que conclure?

car ma prof a mi pour x>1 f(x)=1 mais je ne comp^rends pas

Posté par niparg niparg

dans ce cas vous faites la somme des  masses soit q+p=1
donc pour x>1 F(x)=1

      (q)       (p)
-------|---------|-----[----->
       0         1     x

Posté par juju783 juju783

A ui super merci

et j'ai une autre question concernant cet exo :

on a la fonction f(x)=

k(2-x) si x appartient a [0,1]
0      sinon

1) pour quelle valeur de k , cette fonction est-elle une densité de probabilité?

on trouve k= 2\3

2) calcilez la fonction de répartition associée a cette fonction de densité

La ma prof trouve:
F(x)=
0 si x<0
x\3(4-x)  0<=x<1
1 x>=1

ce que je ne comprends pas c'est pour 0<=x<1 comment trouve telle x\3(4-x)??

Posté par niparg niparg

le raisonnement est le même mais vous avez à faire à une variable aléatoire "continue" donnée par sa fonction de densité f (faites d'abord  un graphe de f)
il faut bien comprendre que dans ce cas la répartition de masse sur ]-;+[ est continue alors que l'exemple précédent elle était concentrée en deux points d'abscisses 0 et 1  
F(x) est toujours la masse de la demi droite ]-;x[ pour tout x;le calcul de cette masse est donné par une intégrale dans ce cas (dans l'exemple précédent il était donné par une somme)
F(x)=     (la borne inférieure de l'intégrale est -: je n'arrive pas à la placer avec Latex !!)
=aire située sous le graphe de f, au dessus de l'intervalle ]- ;x[
essayez de trouver le résultat donné par votre prof suite à mes remarques

Posté par juju783 juju783

Merci bcp j'ai compris