Polynômes MPSI

Posté par Laeti69 Laeti69

Re-bonjour,
c'est le premier DM de l'année et je rencontre déjà des problèmes.

Voici l'énoncé:
Résoudre dans l'équation (E) (1+iz)⁵=(1-iz)⁵. On pourra se ramener à une équation du type Xⁿ=1 où X dépend de z et utiliser le fait que X est égal aux racines n^ième de l'unité.

> Donc ça j'ai réussi et j'ai obtenu z = tan (k/5)

Calculez tan(2/5) et tan(/5). On pourra en développant l'équation (E) écrire une équation (F) de degré 4 où tan(2/5) et tan(/5) sont racines et résoudre (F). On mettra tan(2/5) et tan(/5) sous la forme p+qn (à lire racine de p+qracine de n) avec p, q, n éléments de .

>donc j'ai trouvé (F) z⁴-10z²+5 = 0
mais là je bloque et je vois pas comment trouver les solutions de (F) ni comment mettre les tangeantes sous la forme avec les racines.

Merci,

Laetitia

Posté par jeanseb jeanseb

Bonsoir

pour les solutions de F, pose Z = z². Tu tombes sur une equation du 2ème  que tu résous, puis tu cherches les "racines carrées" des solutions.

Posté par Laeti69 Laeti69

Ok merci de ton aide, je vais faire ça

Posté par Laeti69 Laeti69

Ah merci beaucoup, j'obtiens les 4 solutions qu'il me fallait et en plus elles sont de la forme de la formule qu'ils donnent avec les p, q et n.

Le problème c'est que je ne vois pas du tout comment transformer les tangente sous cette forme-ci, si quelqu'un a une solution ou même une piste je suis preneuse ^^

Encore merci, tu peux pas savoir combien de temps j'ai galéré sur cette équation sans rien trouver, ça fait du bien au bout d'un moment de trouver

Posté par jeanseb jeanseb

Q'as tu trouvé comme solutions?

Posté par Laeti69 Laeti69

Ca va être dur à écrire avec les racines carrées que je ne sais pas très bien faire mais je vais t'écrire ça :

Posté par Laeti69 Laeti69

z₁= racine de 5 - 2 racine de 5
z₂= - racine de 5 - 2 racine de 5
z₃= racine de 5 + 2 racine de 5
z₄= - racine de 5 + 2 racine de 5

Posté par Laeti69 Laeti69

en fait à chaque fois le dernier racine de 5 est également sous la première racine. (désolé je n'arrive vraiment pas à utiliser la commande pour faire les racines)

Posté par jeanseb jeanseb

Il n'y a pas de i?

Posté par Laeti69 Laeti69

non je n'en ai pas.
Je ne pense pas mettre trompée

Posté par Laeti69 Laeti69

Les i sont dans l'équation (E) de départ.

Je cherche un lien entre la première question et la deuxième mais bon je ne vois pas vraiment le rapport.
Dans (E) j'avais trouvé z = tan (k/5)
Dans (F) il y a 4 solutions où tan(2/5) et tan(/5) sont normalement des racines

Donc si je comprend bien dans les solutions z₁, z₂, z₃ et z₄ de (F) il y en a une d'entre elles qui vaut tan(2/5) et une autre qui vaut  tan(/5) mais je ne vois pas trop comment trouver lesquelles

Posté par jeanseb jeanseb

Si tu es sure de ce que tu dis, alors:

tan /5 est le petit positif
tan 2/5 est le grand positif

les 2 autres sont les opposés des 2 premiers, soit tan( -/5)  et tan (-2/5) .

Posté par Laeti69 Laeti69

Ok je te remercie vraiment
Bonne soirée!

Encore merci,

Laetitia

Posté par jeanseb jeanseb

C'était un plaisir!