Etude des variations

Posté par masterrr masterrr

Bonsoir,

Je rencontre quelques problèmes sur un exercice, je dois étudier les variations des fonctions suivantes :

* f(x)=2cos(x)+x+2
f'(x)=-2sin(x)+1

f'(x) > 0
-2sin(x)+1 > 0
sin(x) < 1/2
-7/6 < x < /6 [2]

Par contre je ne vois pas comment mettre en forme ce résultat dans un tableau de variations... étant donné qu'il y a une infinité de x solutions. Dois-je choisir un intervalle ? Si oui, lequel me conseillez-vous ?

* g(x)=2x-(1/x²)
g'(x)=2+(2/x^³)

g'(x) > 0
x^³ < -1
x < -1

Sauf que quand je trace la fonction sur ma calculatrice, la fonction est croissante, décroissante puis croissante. Je devrais donc trouver 2 valeurs d'annulation pour la dérivée... Où est mon erreur ?

Merci d'avance !

Posté par florianp89 florianp89

pour le g(x):

dérivée : bonne mais il faut préférer mettre sous la forme 2 + (2x)/(x^4) qui permet de garder un dénominateur positif !

donc g'(x) = (2x^4 + 2x)/(x^4)
    
g'(x) > 0 revient à 2x^4 + 2x > 0 (car x^4 > 0)
                    2x(x^3+1) > 0

2x > 0 revient à x > 0
x^3 + 1 > 0 revient à x > -1

donc g'(x) > 0 pour x ]-;-1]]0;+[

donc g croissante sur ]-;-1]]0;+[
et g décroissante sur [-1;0[

Posté par florianp89 florianp89

erreur : g'(x) > 0 n'est pas équivalent à x^3 + 1 > 0 soit x > -1

Posté par masterrr masterrr

Merci florianp89 !

Mais pour f je fais comment ?

Posté par masterrr masterrr

Pour f(x)=2cos(x)+x+2, je trouve que la dérivée est 2-périodique.

Du coup, la fonction doit également être 2-périodique non ?

Cependant f(x+) n'est pas égal à f(x)...

Merci d'avance !

Posté par florianp89 florianp89

f(x) = 2cos(x)+x+2
f(x+2) = 2cos(x+2)+x+2+2
f(x+2) = 2cos(x) + x+2+2
donc, graphiquement cela ce traduit par : quand f(x) = y alors f(x+2) = y+2
donc, la fonction n'est pas rigoureusement périodique au sens où f(x+P)f(x)
mais f(x+P) = f(x) + P
Peut-être cela porte t-il un nom...
En tout cas si tu précise ceci tu devrais pouvoir réduire ton étude du sens de variation de f à un intervalle égal à 2
Par exemple : celui que tu as trouvé allant de -7/6 à 5/6

f'(x) > 0 revient à -2sin(x)+1>0 soit -7/6 < x < /6

donc on peut déduire que :
f croissante sur ]-7/6 ; /6]
f décroissante sur [/6 ; 5/6[

Posté par masterrr masterrr

Oui elle n'est pas RIGOUREUSEMENT périodique et justement mon prof est orienté RIGUEUR !

Néanmoins ça ne m'empêche pas d'étudier la fonction sur l'intervalle ] -7/6 ; 5/6 [ : c'est d'ailleurs ce que j'ai fait !

Maintenant je dois tracer le graphe de la fonction. Mon prof nous a précisé qu'il fallait la tracer sur un intervalle jugé PERTINENT ! Donc je me demande si je dois la tracer sur l'intervalle ] -7/6 ; 5/6 [ ou sur un autre intervalle afin de montrer que la fonction est "pseudo-périodique" ? Quel intervalle me conseillez-vous ?

Merci d'avance !