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[Somme] Suite "étrange" [Complexes]

   
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#msg1972629 Posté le 06-09-08 à 22:19
Posté par Profilcanaris78 canaris78

Bonsoir,


Dans le chapitre des complexes que nous venons d'entamer, je ne réussis pas a résoudre cette petite question :

S = i+2i2+3i3+...+100i100

Merci d'essayer de me guider.
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972692 Posté le 06-09-08 à 22:56
Posté par Profilinfophile infophile

Bonsoir

On va faire un peu de rab pour que ça soit plus amusant (joli problème )

On se propose de calculer la somme 3$ \fbox{S_n(x)=\Bigsum_{k=1}^{n}kx^k}

Posons 3$ \fbox{T_n(x)=\Bigsum_{k=1}^{n}x^k} qui est la somme des termes d'une suite géométrique.

On a donc 3$ \fbox{T_n(x)=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}} (*)

Et en dérivant par rapport à 3$ x il vient 3$ \fbox{T_n'(x)=\Bigsum_{k=1}^{n}kx^{k-1}}

Autrement dit on peut écrire 3$ \fbox{S_n=xT_n'(x)}

Calculons explicitement cette dérivée à partir de (*)

3$ \fbox{T_n'(x)=\frac{nx^{n+1}-nx^n-x^n+1}{(x-1)^2}}

D'où finalement 3$ \fbox{S_n=\frac{nx^{n+2}-nx^{n+1}-x^{n+1}+x}{(x-1)^2}}

En particulier pour 3$ x=i cela se simplifie en :

3$ \fbox{S_n=\frac{-ni^{n}-ni.i^{n}-i.i^{n}+i}{-2i}=\frac{1}{2}\(ni^{n-1}+ni^{n}+i^{n}-1\)=\frac{1}{2}\(i^{n-1}(n+ni+i)-1\)}

Sauf erreur pour 3$ n=100 on trouve 3$ \fbox{S=50-50i}

Il y a peut-être plus simple je ne sais pas
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972714 Posté le 06-09-08 à 23:10
Posté par Profilcanaris78 canaris78

Effectivement, le début j'ai ça aussi...

Merci beaucoup, j'étudierai plus en profondeur demain car la je suis plus très frais.

C'est niveau Term. S ça ?!
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972718 Posté le 06-09-08 à 23:11
Posté par Profilveleda veleda

bonsoir,
tu peux essayer de grouper les termes de S par tranches de 4 termes consécutifs

i+2i²+3i3+4i4=2-2i
5i5+6i6+7i7=i4(5i+62+7i3+8i4)=2-2i

S=\bigsum_{k=0}^{24}i4k[(4k+1)i+(4k+2)i²+(4k+3)i3+(4k+4)i4)=25(2-2i)  sauf erreur de calcul de ma part
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972735 Posté le 06-09-08 à 23:17
Posté par Profilveleda veleda

bonsoir,
>>infophilej'avais commencé par lui proposer cette methode mais en la tapant cela m'a paru un peu compliqué pour un terminal en début d'année donc j'ai pensé qu'il fallait peut être utiliser la périodicité des puissances de i
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972742 Posté le 06-09-08 à 23:21
Posté par Profillyonnais lyonnais

Kevin >

Sauf erreur, on a plutôt :

3$ \fbox{T_n(x)=\frac{x(x^{n}-1)}{x-1}}

Non ?
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972746 Posté le 06-09-08 à 23:24
Posté par Profilinfophile infophile

Euh nan je pense romain

veleda > Moi l'inverse j'avais commencé par penser à ta méthode
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972748 Posté le 06-09-08 à 23:24
Posté par Profilinfophile infophile

je ne pense pas*
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972751 Posté le 06-09-08 à 23:25
Posté par Profilcanaris78 canaris78

Justement, la périodicité a guidé mon esprit mais impossible d'aboutir a quelque chose...

Je comprends pas trop la particularisation, tu pourrais détailler ?!
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972753 Posté le 06-09-08 à 23:26
Posté par Profillyonnais lyonnais

ba

\Large{T_n(x) = \sum_{k=1}^n x^k = \frac{x(1-x^n)}{1-x}

Il ne faut pas oublier le premier terme
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972763 Posté le 06-09-08 à 23:32
Posté par Profillyonnais lyonnais

Sauf si tu voulais écrire :

3$ \fbox{T_n(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}x^k}   En partant de 0
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972772 Posté le 06-09-08 à 23:38
Posté par Profilscrogneugneu scrogneugneu

Salut !

Peut-être on peut s'en sortir en regroupant les exposants pairs d'un côté et de l'autre les exposants impairs ...

Non ?
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972782 Posté le 06-09-08 à 23:45
Posté par Profilveleda veleda

>>Lyonnais bonsoir,
tu as raison mais comme c'est la dérivée qui intervient que l'on commence à 0 ou à 1 cela ne change pas ce qui explique que son résultat soit le même que le mien  obtenu par une autre methode
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972786 Posté le 06-09-08 à 23:46
Posté par Profilinfophile infophile

Ah oui excuse moi romain
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972791 Posté le 06-09-08 à 23:50
Posté par Profillyonnais lyonnais

Pas de problème

Par contre je confirme le résultat

Jolie méthode !
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972797 Posté le 06-09-08 à 23:53
Posté par Profilinfophile infophile

J'en profite pour faire de la pub sur ce topic qui m'intéresse :

Bonne soirée à tous !
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972798 Posté le 06-09-08 à 23:54
Posté par Profilveleda veleda

on utilise le fait que les puissances de i ont pour période 4
pour tout entier p et tout entier k i^p=i^{p+4k}
donc on partage la somme en 25 sommes partielles formées de 4 termes consécutifs à partir du premier terme
la première commence à i
la seconde à i5et l'on met i4c'est à dire 1 en facteur
la troisième à i9et l'on met i8 en facteur...
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972830 Posté le 07-09-08 à 00:40
Posté par Profilsimon92 simon92

hello
kevin>> dans ton premier post, si x=1, il se passe quoi? (lors de la somme des terme consécutifs)
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972834 Posté le 07-09-08 à 00:47
Posté par Profilscrogneugneu scrogneugneu

Salut !

Je me permets de répondre.

Si x=1, alors T_n(x)=\Bigsum_{k=1}^n1=n
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972836 Posté le 07-09-08 à 00:48
Posté par Profilscrogneugneu scrogneugneu

Je ne sais pas si c'est cela que tu voulais savoir finalement
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972837 Posté le 07-09-08 à 00:49
Posté par Profilsimon92 simon92

oui, je sais, mais justement, on peut pas mettre x-1 au denominateur
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972842 Posté le 07-09-08 à 00:50
Posté par Profilscrogneugneu scrogneugneu

Il y a effectivement deux cas à considérer :

->si x=1

->si x\neq 1

Mais le cas où x=1 n'a pas d'intérêt finalement.
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972846 Posté le 07-09-08 à 00:52
Posté par Profilsimon92 simon92

bah oui, mais c'est comme ca , la prof nous a fait la morale avant hier donc maintenant je fais gaffe
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972847 Posté le 07-09-08 à 00:53
Posté par Profilscrogneugneu scrogneugneu

Tu as bien raison !

Avant d'écrire une formule, il faut toujours regarder là où elle n'existe pas !

re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972848 Posté le 07-09-08 à 00:54
Posté par Profilscrogneugneu scrogneugneu

PS : pas mal du tout ta prépa !
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972850 Posté le 07-09-08 à 00:55
Posté par Profilscrogneugneu scrogneugneu

J'ai un ami qui était là-bas. A ce qui paraît, le dirlo est un ancien militaire non ?
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972852 Posté le 07-09-08 à 00:58
Posté par Profilsimon92 simon92

le dirlo je ne pense pas, le censeur c'est très possible, mais il est vraiment super. Pour l'instant j'adore cette prépa
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1972854 Posté le 07-09-08 à 01:06
Posté par Profilsimon92 simon92

tu veux faire une prépa ?
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1973051 Posté le 07-09-08 à 10:15
Posté par Profilveleda veleda

bonjour, Simonbonne remarque
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1973155 Posté le 07-09-08 à 10:53
Posté par Profilsimon92 simon92

salut veleda
re : [Somme] Suite "étrange" [Complexes]#msg1973163 Posté le 07-09-08 à 10:56
Posté par Profillyonnais lyonnais

Je suis d'accord sur le principe, mais bon ici le but était de remplacer x par i donc je comprend que Kevin ne l'ai pas précisé ...

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