calculer i², i^3 et i^4

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calculer i², i^3 et i^4

Posté le 06-09-08 à 22:32

Posté par alice11

je souhaiterais savoir comment calculer I² qui est égal à -1
merci beaucoup

re : calculer i², i^3 et i^4

Posté le 06-09-08 à 22:59

Posté par scrogneugneu

Salut !

Que veux-tu faire ?

Tu veux savoir pourquoi $i^2=-1$ ?

En fait, l'ensemble des nombres complexes est simplement $\bb{R}^2$ muni d'une addition et d'une multiplication.

Les éléments de $\bb{R}^2$ se notent $(a,b)$

L'addition est définie comme suit : $(a,b)+(a',b')=(a+a',b+b')$

La multiplication est définie comme suit : $(a,b)*(a',b')=(aa'-bb',ab'+a'b)$

On assimile les nombres réels par $(x,0)$ . Donc $x \in \bb{R}$ est assimilé à $(x,0)$

Le nombre $i$ est noté $(0,1)$ . Ce n'est donc pas un réel.

On a alors : $i^2=i*i=(0,1)*(0,1)=(-1,0)$ en utilisant la définition de la multiplication.

Or $(-1,0)$ correspond au nombre réel $-1$

Donc $i^2=-1$

Pour finir, d'après la loi d'addition, on a : $(a,b)=(a,0)+(0,b)$

Or, $i*(b,0)=(0,1)*(b,0)=(0,b)$

Donc $(a,b)=(a,0)+i(b,0)$

Par convention, on peut donc noter $(a,b)=a+ib$

re : calculer i², i^3 et i^4

Posté le 06-09-08 à 23:01

Posté par scrogneugneu

Pour finir, on peut calculer $i^n$

Si $n=2p$ ( $n$ pair), on a : $i^{2p}=(i^2)^p=(-1)^p$

Si $n=2p+1$ ( $n$ impair), on a : $i^{2p+1}=i^{2p}i=(-1)^pi$

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