Dsicriminant racine ?

Posté par Thallo Thallo

Bonjour !

Voilà, soit P=aX²+bX+c€R[X],
quand a-t-on le discriminant racine réelle de P ?
Bon, déjà, il faut que b²-4ac>=0 pour qu'une racine existe.

si x₁, x₂ sont des racines de P, alors P=aX²+bX+c=a(X-x₁)(X-x₂)=aX²-a(x₁+x₂)X+ax₁x₂
si x₁<0, x₂<0, alors c et b sont de même signe que a
si x₁>0, x₂<0, alors c est de signe opposé à a
si x₁>0, x₂>0, alors c est de même signe que a, b est de signe opposé.
Donc les 3 coefficients ne doivent pas avoir le même signe.

De plus, si x1 est une racine positive, on montre que d=x₁ ssi x₂=x₁+-v(x₁)/a

Après cette petite étude qui nous permet, on va faire un peu lourd.

Le discriminant est racine
ssi a(b²-4ac)²+b(b²-4ac)+c=0
ssi ab⁴-8a²b²c+16a³c²+b³-4abc+c=0

si b=c=0, on a P=aX²
si c=0, b<>0, on a P=aX(X-1/a²)
si b=0, c<>0, on a P=a[X-1/(4a²)][X+1/(4a²)]

maintenant on peut supposer b<>0<>c
On remarque une équation du second degré en c, de discriminant 1-8ab.
Si 1-8ab=0, alors P=a[X-1/(16a²)][X+3/(16a²)].

Le reste me donne pour l'instant que d'horribles choses, donc, si quelqu'un trouve mieux, merci.
(en espérant ne pas avoir fait de monstrueuses erreurs de calculs =] )

Posté par Thallo Thallo

Je fais un petit de mon sujet !

Niveau calcul, heu, pas "d'esclave" -comme le dit infophile- sous la mains hélas, et étant un paresseux pour ce genre de calcul,
et bien...Ca reste assez moche comme solution.

Je pense bien que la solution ne doit pas être belle (avec plein de racine, puissance, somme, et que sais-je), mais y a-t-il une âme généreuse ?

Posté par apaugam apaugam

Pour t"aider ss calcul compliqué remarque que le discriminant c'est
cela marche par ex pour x1=x2=0
il y a peut etre d'autres possibités. je n'ai pas beaucoup réfléchi.
A toi de regarder.

Posté par infophile infophile

Bonjour

J'ai posé la question à mon prof, d'après lui on ne peut pas donner une CNS simple.

Posté par Thallo Thallo

Coucou infophile !

Ha ? mince alors :'(
et des CS simples ? :p (sur les coeffs ^^)

Posté par infophile infophile

Il m'a dit que de toute façon quand on se posait une question ouverte comme celle-ci, la probabilité pour que la réponse soit simple tend vers 0