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limite et intégrale

   
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#msg1972745 Posté le 06-09-08 à 23:22
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Bonsoir,

Je vous présente mon problème.

Citation :
On définit la fonction 3$f_n par : 3$\forall n\ge1,\;\forall x\in{\bb R}_+,\;\;f_n(x)={4$\fr{x^n}{n!}}\exp(-x)

De même, on définit la fonction 3$F_n par : 3$\forall n\ge1,\;\forall x\in{\bb R}_+,\;\;F_n(x)=\Bigint_0^xf_n(t)dt

Montrer que 3$\lim_{n\to+\infty}\ F_n(x)=1


Il faut s'aider de l'égalité 3$\forall n\ge1,\;F_n=F_{n+1}+f_{n+1 (obtenue par une simple IPP).

C'est-à-dire 3$F_n(x)\ =\ \Bigint_0^x{4$\fr{t^{n+1}}{(n+1)!}}\exp(-t)dt\ +\ {4$\fr{x^{n+1}}{(n+1)!}}\exp(-x)

Il faudrait donc montrer que 3$\lim_{x\to+\infty}\ \[\Bigint_0^xt^{n+1}\exp(-t)dt\ +\ x^{n+1}\exp(-x)\]=(n+1)!

et j'ai pas d'idées

Une indication ?

Merci
re : limite et intégrale#msg1972764 Posté le 06-09-08 à 23:32
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Salut guitou !

J'ai pas une feuille devant moi !

Une simple idée: 3$ F_{n+1}=F_n-f_{n+1}=F_{n-1}-(f_{n+1}+f_{n+2})=...=F_0-\Bigsum_{k=1}^{n}f_{n+k} n'aboutit à rien?
re : limite et intégrale#msg1972773 Posté le 06-09-08 à 23:38
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salam Mohamed !

J'étais justement en train de chercher une telle relation mais je me noyais ^^

Et bien si, ça aboutit !

On a 3$\forall x\in{\bb R}_+,\;F_{n+1}(x)=F_0(x)-\Bigsum_{k=1}^nf_{n+k}(x)=1-e^{-x}-\Bigsum_{k=1}^nf_{n+k}(x)

Comme on travaille à n fixé, alors vu que chaque 3$f_{n+k}(x) tend vers 0, la somme finie 3$\Bigsum_{k=1}^nf_{n+k}(x) tend vers 0, et donc le tout tend vers 1.

vieux
re : limite et intégrale#msg1972779 Posté le 06-09-08 à 23:42
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Très bien alors, guigui !
re : limite et intégrale#msg1972781 Posté le 06-09-08 à 23:43
Posté par Profilscrogneugneu scrogneugneu

Salut !

École d'ingé pour vous deux comme finalité ?
re : limite et intégrale#msg1972784 Posté le 06-09-08 à 23:46
Posté par Profilinfophile infophile

Salut les mecs

Allez jeter un coup d'oeil au topic de Thallo c'est 'achement intéressant ! Pour le moment j'ai pas été plus loin que lui, même condition ab < 1/8 en passant par les relations coefficients/racines.

Si quelqu'un trouve une CNS
re : limite et intégrale#msg1972788 Posté le 06-09-08 à 23:48
Posté par Profilgui_tou gui_tou

par contre je crois que c'est : 3$F_n=F_0-\Bigsum_{k=1}^nf_i non ?
re : limite et intégrale#msg1972789 Posté le 06-09-08 à 23:49
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

scrogneugneu>> espérons !

Kévin>> Je vais essayer pour ma part !
re : limite et intégrale#msg1972790 Posté le 06-09-08 à 23:49
Posté par Profilinfophile infophile

Right
re : limite et intégrale#msg1972792 Posté le 06-09-08 à 23:50
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

guitou>> pourquoi?
re : limite et intégrale#msg1972793 Posté le 06-09-08 à 23:50
Posté par Profilgui_tou gui_tou

salut scrogneugneu et kévin

On verra quelle école voudra de moi ^^

Il t'a payé pour faire une telle pub ? Oui oui je connais son zoli problème ^^
re : limite et intégrale#msg1972794 Posté le 06-09-08 à 23:50
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

ah oui OK, je vois
re : limite et intégrale#msg1972800 Posté le 06-09-08 à 23:55
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Ba

3$\rm F_n = F_{n-1} - f_n \\ F_{n-1} = F_{n-2} - f_{n-2} \\ F_{n-2} = F_{n-3} - f_{n-3}

Donc 3$\rm F_n = F_{n-2}-f_n-f_{n-2} = F_{n-3}-f_n-f_{n-2}-f_{n-3}

Donc je conjecture : 3$\fbox{\forall k\in{\bb [}0,n{\bb ]},\;F_n=F_{n-k}-\Bigsum_{i=n-k}^nf_i

et avec k=n : on a ce que j'ai mis
re : limite et intégrale#msg1972808 Posté le 07-09-08 à 00:01
Posté par Profilgui_tou gui_tou

zut petite erreur dans la formule 3$\fbox{\forall k\in{\bb [}0,n{\bb ]},\;F_n=F_{n-k}-\Bigsum_{i=n-k+1}^nf_i
re : limite et intégrale#msg1973093 Posté le 07-09-08 à 10:34
Posté par Profillyonnais lyonnais

Re

Si tu cherches :  3$\lim_{x\to+\infty}\ F_n(x)=1

Tu peux aussi utiliser que :

3$\lim_{x\to+\infty}\ F_n(x) = \lim_{x\to+\infty}\Bigint_{0}^x \frac{e^{-x}x^n}{n!} dx = \frac{1}{n!}\Bigint_{0}^{+\infty} e^{-x}x^n dx = \frac{\Gamma(n+1)}{n!} = \frac{n!}{n!} = 1
re : limite et intégrale#msg1974590 Posté le 07-09-08 à 15:18
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Salut Romain

On n'a pas vu la fonction gamma ^^

Mais merci quand même!

Pour info, le problème permet de démontrer la formule de Stirling
re : limite et intégrale#msg1974600 Posté le 07-09-08 à 15:20
Posté par Profillyonnais lyonnais

Je sais, ça me rappelle ce que j'avais eu à CCP l'année dernière
re : limite et intégrale#msg1974676 Posté le 07-09-08 à 15:30
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Vu que 3$\sup_{{\bb R}_+}f_n=f_n(n) et que 3$f_n(n)=\fr{n^n}{n!}e^{-n}\longrightarrow_{n\infty}0 ,
est-ce qu'on peut dire que la suite de fonctions 3$(f_n) converge uniformément vers la fonction nulle sur 3${\bb R}_+ ?
re : limite et intégrale#msg1975008 Posté le 07-09-08 à 16:26
Posté par Profillyonnais lyonnais

Voila j'ai retrouvé le sujet dont je te parlais : =>

Il est intéressant à faire. C'est que du cours et si tu y arrives, tu as bien compris toutes les subtilités des suites et séries de fonctions. C'est paragraphe 5 pour ton exo (même si le but n'est pas le même ici).

Sinon pour ta question, c'est tout bon
re : limite et intégrale#msg1975052 Posté le 07-09-08 à 16:32
Posté par Profilgui_tou gui_tou

Oki merci!

Vi je l'ai lu ton sujet, maintenant tu dois maîtriser tout ce qui touche aux suites de fonctions

Justement je pose la question car la question 4 de la partie I (exemples et contre exemples) me turlupine.

Logiquement, 3$\lim_{n\to+\infty} F_n(x)= 0 ... [et c'est le cas en fait ]

Bon en écrivant ces qq lignes je me rends compte de ma bêtise

J'ai confondu 3$\lim_{n\to+\infty} F_n(x)  et 3$\lim_{x\to+\infty} F_n(x) ^^

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