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Résolutions dans Mn(R)

Posté par
Tebah 07-09-08 à 10:29

Bonjour tout le monde!

Je vous souhaite d'abord une très bonne rentrée à tous !
Je suis en spé , et j'ai un exo qui me pose problème :
" Résoudre dans Mn(R) 4X² + 4X + 5In = 0 "
Je serais tentée d'utiliser la diagonalisation des matrices mais honnetement je ne vois pas bien comment et c'est ce Mn(R) qui me perturbe beaucoup !

Voila , j'espère que vous saurez m'aider lol !

Encore bonne rentrée à tous

Posté par
perroquetre : Résolutions dans Mn(R) 07-09-08 à 10:39

Bonjour, Tebah

X^2+X+\frac{5}{4}I_n=0
\left(X+\frac{1}{2}I_n\right)^2=-I_n

Si n est impair, il n'y a pas de solution (prendre le déterminant de l'égalité précédente pour obtenir une contradiction)

Si n est pair, il y a une infinité de solutions. Il existe un élément P de GL_n(R) tel que
P^{-1}\left(X+\frac{1}{2}I_n\right)P= \begin{pmatrix}=A & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & A & \ddots & \vdots \\ \vdots &\ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \ldots & 0 & A\end{pmatrix}    avec    A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}

Posté par
Tebahmagie ! 07-09-08 à 10:57

Ok merci pour le coup de main

çà me semble un chouya magique ( j'entends par là que je ne vois pas du tout comment vous avez trouvé cela) mais jvais me pencher la dessus !

Y a-t-il une méthode générale de résolutions d'équations dans Mn(R) ?

Au plaisir de vous lire!

Posté par
perroquetre : Résolutions dans Mn(R) 07-09-08 à 11:14

J'ai simplement utilisé la décomposition canonique du trinôme:
ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}

Pour la résolution de  X^2=-I_n  , j'ai utilisé un exercice classique (et pas très facile)

Posté par
Tebahre : Résolutions dans Mn(R) 07-09-08 à 11:19

J'ai une autre question , beaucoup moins en rapport avec notre problème initiale ...
Connaissez vous ( la réponse est surement oui, mais lequel) un logiciel qui me permette d'écrire en language mathématique, je veux dire je veux pouvoir écrire des textes avec des outils style intégrale , barre de fraction matrice etc... dedans.

Cordialement, la taupe!

Posté par
perroquetre : Résolutions dans Mn(R) 07-09-08 à 11:39

J'utilise LATEX.
Une bonne initiation se trouve ici.
[lien]


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