récurrence

Posté par mr math mr math

Bonjour !
J'ai un petit (voire un gros) soucis avec mon exercice de mathématique.
On me demande de montrer par récurrence que pour tout n de N* , f admet une dérivée n-ième sur O,+ (O non pris)
avec f(x) = ln(x)/x
J'ai fais la dérivée de f(x) au rang 1 c'est à dire f'(x)= (1-ln(x))/x^2
et maintenant je suis complètement bloquée car  je n'arrive pas à voir comment avec quoi je dois partir pour commencer mon raisonnement (je n'ai jamais travaillé avec des dérivées n-ième)
merci d'avance pour votre aide

Posté par lyonnais lyonnais

Bonjour

Une idée. Montre par récurrence que la dérivée nième est toujours de la forme :

  avec A et B des réels quelconque

Posté par lyonnais lyonnais

Pour être rigoureux, il faudrait même noté pour la dérivée nième :

A = A_n et B = B_n

Ainsi ici pour f' d'après ton calcul :

A₁ = 1

B₁ = -1

Posté par mr math mr math

En fait ça c'est ce que je dois démontrer dans la question suivante... donc je ne pense pas qu'il faille que je m'en serve pour cette question

Posté par mr math mr math

pour f' je l'avais trouvé parce qu'on m'a donné cette formule dans la suite de l'énoncé

Posté par lyonnais lyonnais

Ba alors si tu ne veux pas utiliser la formule tout de suite :

f est dérivable sur R+* donc :

f'(x) = (1-ln(x))/x²

Mais alors f' est dérivable sur R+* donc :

f''(x) = (2ln(x)-3)/x³

Tu dis qu'a chaque fois la fonction obtenue est dérivable.

Donc f admet une dérivée nième

Reste à montrer la formule par récurrence

Posté par mr math mr math

est ce que si une fonction possède une dérivée au rang n alors elle en possédera une au rang n+1 ?

Posté par lyonnais lyonnais

Uniquement lorsqu'il se trouve que la fonction au rang n est elle aussi dérivable (ce qui est le cas ici)

Posté par mr math mr math

voila comment j'ai commencé :

j'ai dérivé http://latex.ilemaths.net/im_texifie.cgi?\Large{f^{(n)}(x)%20=%20\frac{A+Bln(x)}{x^{n+1}}

ce qui me donne
f(n+1)(x) = (vn(x-(x^(n+1))(ln(x)))-unx^(n+1))/((x^(n+1))^2)
et là....
je suis coincée

Posté par mr math mr math

oups ce qui ne veut rien dire ans ce que je viens d'écrire c'est la formule que vous m'aviez donné avec les An et Bn
désolé

Posté par mr math mr math

et le premier x en fait c'est un x^n

Posté par mr math mr math

oula non je me rends compte que ce que j'ai fais est tout faux

Posté par mr math mr math

C'est complex ..

Posté par mr math mr math

ça va ou pas si je dérive l'expression f(n)(x) = (An+Bnln(x))/(x^n+1) ?
parce que c'est ce que je viens de faire et je n'aboutis pas à grand chose ...

Posté par lyonnais lyonnais

Oui, c'est ça qu'il faut faire :



Sauf erreurs ...

Posté par mr math mr math

oui c'est ce que j'ai trouvé aussi mais comment passer de An(n+1) à An+1 ?

Posté par mr math mr math

et comment trouvez vous x^n+2 au dénumérateur quand on a ((x^n+1))^2 ?

Posté par mr math mr math

a non c'est bon j'ai trouvé a réponse à ma dernière question

Posté par mr math mr math

donc j'ai effectivement bien trouvé la même chose que vous mais en faisant ça on n'arrive pas encore au résultat souhaité ... ?

Posté par mr math mr math

ah oui est ce qu'on peut dire que (Bn-An(n+1)) = An+1 et comme ça on a le résultat

Posté par lyonnais lyonnais

Exactement

Posté par mr math mr math

ok j'suis contente alors merci de votre aide ça me redonne confiance
je dois maintenant exprimer Bn en fonction de n pouvez vous me dire de quelle expression je pars pour essayer de le faire ?

Posté par lyonnais lyonnais

Désolé de répondre en retard

Tu as :

B_n+1 = -(n+1).B_n

donc en changeant n en n-1, tu as :

B_n = -n.B_n-1 = (-1)²n(n-1).B_n-2 = ... = (-1)^n-1n!B₁ = (-1)^n-1n!(-1) = (-1)ⁿn!

Sauf erreur

Posté par mr math mr math

wah merci beaucoup ! mais comment penser à changer N en n-1 ? parce que j'aurais eu ça en controle je ne l'aurai jamais trouvé ! Avez vous une astuce ?

Posté par lyonnais lyonnais

Je t'en prie

Si tu ne changes pas n en n-1, tu arrives à :

B_n+1 = -(n+1)B_n = ... = (-1)ⁿ⁺¹(n+1)!

Et là, comme on te demande B_n tu changes n+1 en n

A bientôt sur l'

Posté par mr math mr math

Bonjour ! je reviens sur un vieu sujet de la semaine dernière mais entre temps je n'avais pas internet
dans la suite de cet exercice je dois exprimer un en fonction de n et trouver que cela donne
un = ((-1)^n+1) * n! * somme (de k=1 à n) de 1/k

je suis partie du résultat précédent qui m'a donné :
An+1 = Bn-An(n+1)
j'ai refais comme précédemment c'est à dire que je remplace n par n-1
j'ai donc An = Bn-1 - (n)*An-1
puis An = (-1)^n-1 * (n-1)! - (n)*Un-1
et là...je suis coincée (comme pour changer)
pouvez vous m'aider s'il vous plait ?

Posté par mr math mr math

J'ai vraiment besoin d'aide car après je n'aurais plus internet ...

Posté par mr math mr math

personne ne peut m'aider ?

Posté par mr math mr math

s'il vous plait...