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Opérateur hermitique


autreOpérateur hermitique

#msg1973521#msg1973521 Posté le 07-09-08 à 12:06
Posté par Profiljulien_4230 julien_4230

Bonjour à tous

Voici un problème que je n'arrive pas à résoudre.
Merci de m'aider !

Soit A un opérateur pas forcément hermitique.

1) Montrer que A+A et AA+ sont des opérateurs hermitiques (c'est fait)

2) D'après le théorème spectral il existe pour chacun d'eux une base de vecteurs propres. Montrer que leurs valeurs propres sont réelles (c'est fait) et positives (je n'y arrive pas !).
On pourra considérer (x|A+Ax) où x est un vecteur propre de A+A.

Soit un espace de Hilbert de dimension infini discret. On note {ei,i entier naturel} une base orthonormée de cet espace. On définit l'opérateur T de translation par :
quelque soit i, Tei=ei+1
On cherche à calculer l'opérateur T+

3) Montrer que (ei|T+e0) = 0pour tout i. En déduire T+e0.

On a :
(ei|T+e0) = (ei+1|e0) = 0
Donc T+e0 = e0

4) Calculer (ei|T+e1) = 0 pour tout i. En déduire T+e1.

Si (ei|T+e1) = 0, alors (ei|T+e0) = (ei|T+e1) = 0.
Donc T+e0=T+e1=e0.

5) En déduire l'action de T+ sur la base {ei}.

On généralise alors : pour tout i, T+ei=e0.

6) Calculer les opérateurs T+T et TT+, et montrer que leurs valeurs propres obeïssent au résultat de la question 2.

De l'énoncé, on tire que :
T+Tei=T+ei+1=e0
Donc : T+Te0=e0

De 5), on tire que :
TT+ei=Te0=e1
Donc : TT+e1=e1

On constate que les valeurs propres de T+T et TT+ sont positives.


Voilà. Ce que je ne suis pas sûr est la question 4). Tout le reste en découle. En fait, si on compare la question 3) et 4), les premiers termes sont différents « montrer que » et « calculer », cela voudrait donc dire, en quelques sortes, qu'on pose (ei|T+e1) = 0, et qu'on doit calculer T+e1
Mais je vous avoue que si ce n'est pas le cas, la question est terriblement mal posée.
Merci de regarder !

A bientôt.
re : Opérateur hermitique#msg1973601#msg1973601 Posté le 07-09-08 à 12:28
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Salut

Je m'y connais pas trop à ces opérateurs qu'on utilise à la physique quantique, je connnais à peine l'équation de Schrodinger , mais j'essaierai de faire une analogie avec ce qu'on fait en maths ! Donc si ça ne colle pas tu le dis !

Pour la première question: Soit x une vecteur propre associé à la vap 3$\lambda 3$(x|(A^+Ax)=(x|\lambda x)=\lambda(x|x)

Or t'as montré que l'opérateur 3$A^+A est hermitique, ce qui se traduit par: 3$(x|(A^+Ax)\ge 0

Ainsi, 3$\lambda(x|x)\ge 0 et 3$(x|x)\ge 0 donc 3$\lambda\ge 0

Ainsi les vap d'un opérateur hermitique sont positives
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re : Opérateur hermitique#msg1973678#msg1973678 Posté le 07-09-08 à 12:44
Posté par Profiljulien_4230 julien_4230

Pourquoi ça implique que (x|A+Ax) positif ?!

Merci !
re : Opérateur hermitique#msg1973690#msg1973690 Posté le 07-09-08 à 12:46
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

c'est pas la définition même d'un opérateur hermitique?

par exemple dans l'algèbre bilinéaire, on a comme analogie les endomorphisme symétriques qui vérifient (f(x)|x) positif, même chose dans l'algèbre sesquilinéaire ! Y a pas cette propriété avec les opérateurs hermitiques?
re : Opérateur hermitique#msg1973954#msg1973954 Posté le 07-09-08 à 13:37
Posté par Profiljulien_4230 julien_4230

Eh bien, je n'en sais rien, le cours n'a pas parlé explicitement de, si A est un opérateur hermitique, (x|Ax) positif ou nul.

Par contre la définition de l'adjoint A+ d'un opérateur A, pour deux vecteurs x et y, est :
(Ax|y)=(x|A+y)

Un opérateur hermitique vérifie, par définition A=A+

Mais je ne vois pas trop en quoi (x|Ax) est positif à partir uniquement de ces définitions... Tu vois, toi ? Merci
re : Opérateur hermitique#msg1974025#msg1974025 Posté le 07-09-08 à 13:49
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Désolé je voulais te dire que A^+A est symétrique positif !

Y a cette notion de hermitique positif?

Si c'est le cas,  c'est simple à montrer, quelle que soit l'opérateur A (hermitique ou non), A^+A est hermitique positif !
re : Opérateur hermitique#msg1974037#msg1974037 Posté le 07-09-08 à 13:51
Posté par Profiljulien_4230 julien_4230

Je ne connais pas cette notion... Tu peux m'en dire plus ? Merci !
re : Opérateur hermitique#msg1974055#msg1974055 Posté le 07-09-08 à 13:54
Posté par Profilmonrow monrow Posteur d'énigmes

Tu veux que je te donne ca en terme de matrices et tu le traduis pour ces opérateurs hermitiques?
re : Opérateur hermitique#msg1974517#msg1974517 Posté le 07-09-08 à 15:09
Posté par Profilotto otto

Je m'y connais pas trop à ces opérateurs qu'on utilise à la physique quantique, je connnais à peine l'équation de Schrodinger , mais j'essaierai de faire une analogie avec ce qu'on fait en maths ! Donc si ça ne colle pas tu le dis
Bein c'est un problème de maths ici, pas de physique ... Je ne comprend pas trop ta remarque...
re : Opérateur hermitique#msg1974545#msg1974545 Posté le 07-09-08 à 15:13
Posté par Profilotto otto

Un truc du genre
<x,A*.Ax>
=
<Ax.Ax> >=0

te donne avec x un vecteur propre

<x,A*.Ax>
=
<x,l.x>
=
l.||x||^2

et en identifiant l>0.

A moins que je sois vraiment rouillé et que je raconte n'importe quoi.
re : Opérateur hermitique#msg1975216#msg1975216 Posté le 07-09-08 à 17:03
Posté par Profiljulien_4230 julien_4230

Monrow : dis-moi ça en terme de matrice, il n'y a aucun problème.

Otto : mais si tu fais (x|A+Ax)=(Ax|Ax) tu sous-entends que A est hermitiques, mais A ne l'est pas forcément.
Ensuite, je veux bien que tu identifies l à un réel positif, mais c'était le but, et on avait (x|A+Ax)=l(x|x).

En fait, le problème est de prouver que, dans cette équation, l est positif.

Thank you !
re : Opérateur hermitique#msg1976234#msg1976234 Posté le 07-09-08 à 19:58
Posté par Profilotto otto

Bonjour,
où ai je supposé que A était hermitique ?
J'imagine que A+ désigne l'adjoint de A non ?

Dans ce cas je me suis seulement servi de la définition d'un adjoint.

Et j'ai prouvé que l>0
re : Opérateur hermitique#msg1976454#msg1976454 Posté le 07-09-08 à 20:51
Posté par Profiljulien_4230 julien_4230

Oula... Je mélange tout, moi !
Merci beaucoup, c'est si simple....

Bon je récapitule.

(x|Ay)=(A+x|y) est la définition de l'adjoint d'un opérateur A.

A=A+ est la définition d'un opérateur hermitique.

Et c'est tout ! Est-ce que le reste du problème est okay ? C'est très simple, mais il faut s'habituer au nouveau jargon. Merci !
re : Opérateur hermitique#msg1976643#msg1976643 Posté le 07-09-08 à 21:57
Posté par Profilotto otto

Oui l'idée est d'envoyer l'adjoint de l'autre coté pour avoir un produit scalaire et donc c'Est positif.

D'un autre coté si x est un vecteur propre alors on trouve un multiple de la norme mais par ce qu'on a fait avant ce multiple est positif et c'est fini.
re : Opérateur hermitique#msg1976798#msg1976798 Posté le 08-09-08 à 00:23
Posté par Profiljulien_4230 julien_4230

Tout à fait.

Est-ce que la suite du problème ça va, s'il vous plaît ? Je suis conscient que c'est embêtant, mais je vous en prie, aidez-moi please

Thank you !

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