Groupe fini

Posté par Jonny512 Jonny512

Bonjour, je dois montrer que si G groupe fini d'ordre pair, alors G possède un élément d'ordre 2. Je ne vois vraiment pas comment faire. Par l'absurde c'est irrésoluble. Je ne vois pas comment m'y prendre. Merci de votre aide

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Voilà une solution: Soit

Bien sur, X a le même nombre d'éléments que G, c'est à dire pair. Maintenant, si , j'ai dans X aussi l'élément Si a n'est pas d'ordre 2, on a , ce qui me fait deux éléments. En les mettant tous de côté, je récupère un nombre pair d'éléments. Oui, mais (e,e) est tout seul, donc il y a forcément un a autre que e tel que , donc d'ordre 2.

Pour les spécialistes: Merci Cauchy...

Posté par Jonny512 Jonny512

Merci
Mais un tel groupe peut-il exister? Parce que si on prend tous les éléments et leur symétrique, ça fait un nombre d'éléments paire or tout groupe possède un symétrique donc cela fera un nombre d'éléments impair.

Posté par Jonny512 Jonny512

or tout groupe possède un élément neutre pardon

Posté par romu romu

Bonsoir,

est un tel groupe, est d'ordre 2.

Posté par Jonny512 Jonny512

oui mais s'agit d'un groupe d'ordre infini non?

Posté par Jonny512 Jonny512

A non pardon mille excuse

Posté par romu romu

non vu qu'il n'a que deux éléments, l'ordre d'un groupe c'est le nombre de ces éléments.

Posté par Jonny512 Jonny512

Merci beaucoup pour vos réponses