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Suite récurrente

   
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maths supSuite récurrente

#msg1975146 Posté le 07-09-08 à 16:51
Posté par Profilnicollivier nicollivier

Bonjour,

Voilà j'ai une petite question toute bête, mais je n'arrive pas à m'en dépatouiller...

Soit Un+1= (2+Un),
Avec U0=1

Et je n'arrive pas à trouver Un.

Est-ce que quelqu'un pourrait me donner un indice?!

Merci beaucoup
re : Suite récurrente#msg1975182 Posté le 07-09-08 à 16:56
Posté par Profilperroquet perroquet

Bonjour, nicollivier

On peut démontrer par récurrence que

u_n=2\ \cos\frac{\pi}{3.2^n}
re : Suite récurrente#msg1975185 Posté le 07-09-08 à 16:57
Posté par Profilnicollivier nicollivier

Merci beaucoup pour cette réponse très rapide.

Mais est-ce que tu peux me dire comment tu as fait pour trouver cela?!
re : Suite récurrente#msg1975197 Posté le 07-09-08 à 16:59
Posté par Profilperroquet perroquet

Une indication:
1+\cos (2a)=2\cos^2a:
re : Suite récurrente#msg1975230 Posté le 07-09-08 à 17:06
Posté par Profilnicollivier nicollivier

Merci pour cette indication, mais là je sèche encore une fois.

Est-ce que tu pourrais détailler un peu s'il te plait?!

Merci
re : Suite récurrente#msg1975245 Posté le 07-09-08 à 17:09
Posté par Profilperroquet perroquet

As-tu vérifié le résultat pour n=0?
re : Suite récurrente#msg1975272 Posté le 07-09-08 à 17:13
Posté par Profilnicollivier nicollivier

Avec la relation que tu donnes, le résultat n'est pas bon au rang 0.
Je trouve U0=2.
re : Suite récurrente#msg1975318 Posté le 07-09-08 à 17:20
Posté par Profilnicollivier nicollivier

Oups....
En fait ta relation est bonne, bien évidemment....
Mais je ne vois pas comment commencer...
re : Suite récurrente#msg1975321 Posté le 07-09-08 à 17:21
Posté par Profilperroquet perroquet

Vraiment ?

2 \cos\frac{\pi}{3} = \ldots
re : Suite récurrente#msg1975339 Posté le 07-09-08 à 17:24
Posté par Profilperroquet perroquet

Le résultat est donc vrai pour n=0.

Supposons que    u_n=2\cos\frac{\pi}{3.2^n}

Alors:    u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}=\sqrt{2\left(1+\cos\frac{\pi}{3.2^n}\right)}=\ldots
re : Suite récurrente#msg1975452 Posté le 07-09-08 à 17:43
Posté par Profilnicollivier nicollivier

Donc si j'ai bien tout compris...
Un+1=(2U²n)

Mais comment tu as fait pour tout de suite trouver Un=2cos(/3.2n)
re : Suite récurrente#msg1975488 Posté le 07-09-08 à 17:47
Posté par Profilperroquet perroquet

Il faudrait que tu revoies le raisonnement par récurrence.

Comment fait-on pour prouver qu'une propriété P(n) est vraie pour tout n de N ?

Accessoirement, il est faux que   u_{n+1}=\sqrt{2u_n^2}
re : Suite récurrente#msg1975624 Posté le 07-09-08 à 18:08
Posté par Profilnicollivier nicollivier

Si je ne me trompe pas pour le raisonnement de récurrence:

On commence par une initialisation au premier rang.
Puis on suppose P(n) vraie et on calcule au rang supérieur, et on prouve que c'est égale à P(n+1).
re : Suite récurrente#msg1975660 Posté le 07-09-08 à 18:13
Posté par Profilperroquet perroquet

C'est cela, et c'est exactement ce que je t'ai proposé de faire ...

On a montré que   P(0) est vraie
On a ensuite supposé que P(n) était vraie  (u_n=2\cos\frac{\pi}{3.2^n})
Et on cherche à démontrer que P(n+1) est vraie, c'est-à-dire que    u_{n+1}=2\cos\frac{\pi}{3.2^{n+1}}

On était arrivés à:

u_{n+1}=\sqrt{2\left( 1+\cos\frac{\pi}{3.2^n}\right)}

Il reste un tout petit effort à faire en utilisant mon post de 16h59
re : Suite récurrente#msg1975795 Posté le 07-09-08 à 18:40
Posté par Profilnicollivier nicollivier

Merci beaucoup pour ton aide.

Mais je n'arrive toujours pas à savoir comment tu as fait pour trouver Un...
re : Suite récurrente#msg1975920 Posté le 07-09-08 à 18:59
Posté par Profilperroquet perroquet

Il y a un exercice élémentaire qui montre que:

\cos\frac{\pi}{8}=\sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}}

On peut généraliser ce type de relation.

Je sais, ce n'est pas évident ...
re : Suite récurrente#msg1975945 Posté le 07-09-08 à 19:03
Posté par Profilnicollivier nicollivier

Merci beaucoup pour ton aide...

Malheureusement ce soir, je n'arrive pas à branché mon cerveau..
Je reviendrai dessus plus tard.

Encore une fois Merci

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