Excercice de suite

Posté par zerottrond zerottrond

Bonjour a vous, voila mon probleme
j'ai un exercice de maths a faire mais je suis bloquée dès le début car je ne sais pas du tout quelle méthode adopter pour resoudre cette fonction.
Pourriez vous m'aider?

Soit n un entier naturel non nul.
1. Montrer que l'équation tan x=x^4/(x^3-1) a une solution unique sur [n, n+/2[; on appelle xn cette solution.

2. Déterminer un équivalent de xn quand n +.

3. Montrer que la suite (xn-n) n N est convergente et determiner sa limite.

4. Montrer que xn-n-/2~~C/n quand n +. Déterminer C.


Merci beaucoup

Posté par perroquet perroquet

Bonjour, zerottrond

Pour la première question, étudies la fonction


(dérivée, tableau de variation, limites aux bornes)

Posté par zerottrond zerottrond

Merci , je vais le faire et voir si je m'en sors pour la suite

Posté par carpediem carpediem

salut

en fait tu sais que tan réalise une bijection de chacun de tes intervalles dans R... donc tu as juste à étudier la fonction g(x)=x^4/(x^3-1)

Posté par perroquet perroquet

Je ne suis pas d'accord, carpediem

Posté par carpediem carpediem

dans R⁺ pardon (ou dans R^- peut-être
d'ailleurs il n'y a même pas besoin d'étudier g pour afirmer l'existence d'une solution vu que g n'est pas définie que en 1

Posté par perroquet perroquet

Pour l'existence, d'accord.
Mais l'énoncé demande aussi l'unicité de la solution

Posté par carpediem carpediem

tout à fait et c'est la qu'il faut se fatiguer (un peu):
mais mis à part "au début" !! g est stirctement croissante ce qui va assurer l'unicité

Posté par carpediem carpediem

même pas besoin

Posté par perroquet perroquet

x^3 est strictement croissante
x est strictement croissante.
Pourtant l'équation   x^3=x admet 3 solutions.

Posté par carpediem carpediem

sur R oui mais sur des intervalles d'amplitude 1?

Posté par carpediem carpediem

ou si tu préferes d'amplitude 0,5
car içi tu as une infinité de sol mais sur chacun des intervalles elle est unique...

Posté par perroquet perroquet

Le "contre-exemple" que je t'ai donné montre qu'il n'est pas suffisant de montrer que f et g sont croissantes pour en déduire que l'équation  f(x)=g(x) admet une unique solution (même en supposant que f et g sont C-infini sur l'intervalle considéré).