problème bijection, dérivées

Posté par anyone anyone

bonjour, j'ai besoin d'aide svp pour résoudre certaines questions d'un problème :

on considère la fonction f définie sur I=[0;pi/4] par f(x)=1/cos(x) ainsi que la suite (In) suivante : I₀=pi/4 et pour tout n de N*, I_n =

1. j'ai du montrer que f réalise une bijection de I dans J = [1;2]
on note f^-1 la bijection réciproque

2.justifier que pour tout x de J : cos (f^-1(x)) = 1/x > je n'y arrive pas

et sin(f^-1(x)) = racine carrée de (1-(1/x²)) > j'ai réussi
3. montrer que pour tout x de J-{1}, (f^-1)'(x) = 1/(x*(x²-1)^1/2) > j'ai réussi

4. en déduire le développement limité en 2 de f^-1 à l'ordre 1
> je n'arrive pas à calculer f^-1(2)

5. justifier que f est de classe C-infinie (fⁿ : dérivée nième de f sur I)
6. montrer que pour tout entier naturel non nul, il existe un polynome P_n tel que :
fⁿ(x) = (P_n * sin(x)) / cos⁽ⁿ⁺¹⁾(x)
7. déterminer P₁ et P₂
8. montrer que pour tout entier naturel n non nul : P_n+1 = (1-X²)P_n' + (n+1)XP_n
en déduire P₃


merci d'avance !

Posté par Nightmare Nightmare

Salut

Pour la 2)


Pose y=f^-1(x) (possible pour x dans J, ça tombe bien)

4. Il te suffit de trouver un antécédent de V(2)

Pour la suite, tout te bloque?

Posté par anyone anyone

est ce que l'antécédent est pi/4 ??

oui je bloque pour la suite ..

merci ^^

Posté par Nightmare Nightmare

f est comme inverse d'une fonction non nulle sur le domaine de définition.

6. Une petite récurrence ?

Posté par anyone anyone

oui, j'avais réussi la 5, mais merci quand même..

je bloque au niveau de l'hérédité...

c'est bien pi/4 pour l'antécédent?

merci

Posté par Nightmare Nightmare

Oui c'est bien pi/4 pour l'antécédent.

Puis-je voir ton raisonnement par récurrence pour t'aider?

Posté par anyone anyone

pour l'hérédité, on suppose la proposition vraie :

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = [(Pn'*sin(x)+Pn*cos(x))cos⁽ⁿ⁺¹⁾(x) - Pn*sin(x)*(-(n+1)sin(x)cosⁿ(x)] / (cos⁽ⁿ⁺¹⁾(x))²

est ce juste pour l'instant ? (j'ai simplement dérivé)

Posté par anyone anyone

comment dois je m'y prendre ?

merci