intégration

Posté par Oscar100 Oscar100

Bonjour à tous!
on a attaqué le chapitre "intégration sur un intervalle quelconque" et j'avoue que j'ai du mal (beaucoup beaucoup de mal:embarras
par exemple, on nous demande de justifier que
cos(t)ln(tan(t)) est intégrable sur ]0;PI/2[ puis de faire le calcul.
J'ai fini les justifications mais je bloque sur le calcul. Ce serait vraiment gentil de me donner quelques pistes
merci davance!

Posté par perroquet perroquet

Pour le calcul, cherche d'abord une primitive de   cos(t) ln (tan t)   en intégrant par parties:
u'(t)=cos t    v(t)=ln (tan t)   ...

Posté par Oscar100 Oscar100

bonjour
mais pour faire une IPP, est-ce qu'il ne faut pas justifier à chaque fois que toutes les fonctions qu'on obtient sont bien ilntégrables?

Posté par perroquet perroquet

On intègre sur  [a,b] avec a positif et b inférieur à pi/2.
On fait ensuite tendre a vers 0 et b vers   pi/2.

Posté par Oscar100 Oscar100

d'accord merci beaucoup; j'ai fini le calcul. est-ce que vous pourriez aussi m'aider sur l'intégrale suivante
ln(t) / (1-t^2)  sur ]0;1[
on nous dit d'écrire que

1/ (1-t^2)=(de k=0 à n) t^2k+ (t²ⁿ⁺²)/(1-t²)

Posté par perroquet perroquet

   (série géométrique de raison t²)

Posté par Oscar100 Oscar100

une série de raison 1? Nous n'avons pas encore vu ce cours (je suis en début de spé)
Est-ce qu'il faut les traiter comme des suites?

Posté par perroquet perroquet

Je viens de comprendre ton post de 18h12.



Pour calculer l'intégrale de   t^{2k} ln t, on effectue une intégration par parties en posant   u'(t)=t^{2k}   v(t)= ln(t)

Ensuite, il faudra démontrer que

Posté par Oscar100 Oscar100

Je m'étais effectivement lançé dans une intégration par parties pour les t^2k mais comme je ne savais pas quoi faire du reste j'ai abandonné. Il faut donc montrer qu'il tend vers 0... Je reprends de ce pas les calculs. Merci à vous

Posté par Oscar100 Oscar100

c'est encore moi. Je ne m'en sors pas avec l'intégrale  ln(t)/(1-t^2)
j'arrive à écrire le premier membre comme étant la somme de k=0 0 n des -1/(2k+1)^2 mais je ne sais pas s'il faut calculer cette somme. Pour ce qui est du second membre , je n'arrive pas à prouver qu'il tend vers 0.
Encore un peu d'aide s'il vous plait?

Posté par perroquet perroquet

Pour montrer que l'intégrale tend vers 0, on remarque que   est bornée sur ]0,1[ parce que c'est une fonction continue sur ]0,1[, admettant une limite finie en 0 et en 1. Notons M un majorant de sa valeur absolue.

Donc:



...

L'intégrale demandée vaut  

Posté par Oscar100 Oscar100

Encore merci.
Mais rassurez moi, il ne faut pas calculer cette somme, n'est ce pas?

Posté par perroquet perroquet

C'est un grand classique, elle vaut    

Mais il ne faut pas calculer cette somme si l'énoncé ne donne pas d'indication pour le faire.

Posté par Oscar100 Oscar100

Alors comme l'énoncé a la bonne idée de ne pas donner d'indication... ce sera pour une prochaine fois (quoique... j'imagine déja le professeur nous demander de prendre une feuille pour essayer de la calculer)
Je n'ai plus qu'a me répéter: merci