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récurrence/suite/majoration

Posté le 07-09-08 à 19:58

Posté par pasiphaé

bonjour
j'ai un petit problème à résoudre mais je n'y arrive pas toute seule .
voici l'énoncé :
U0=1 et Un+1=racine de (Un+2)
il faut montrer quelle est croissante.
voilà merci pour votre aide.
j'utilise la formule Un+1-Un>0 mais j'y arrive pas

re : récurrence/suite/majoration

Posté le 07-09-08 à 20:03

Posté par Nightmare

Salut :happy3:

Supposons qu'on ne sache pas vraiment comment faire, on sait juste qu'il faut montrer que $3$\rm U_{n+1}-U_{n}>0$ , ie $3$\rm \sqrt{U_{n}+2}\ge U_{n}$

Il est clair par définition que U(n) est positive, on peut donc élever au carré, on obtient $3$\rm U_{n}+2\ge U_{n}^{2}$
Il faudrait donc montrer que $3$\rm U_{n}^{2}-U_{n}-2\le 0$

Soit encore $3$\rm (U_{n}+1)(U_{n}-2)\le 0$

Il faut donc que $3$\rm -1\le U_{n}\le 2$

On a déjà une inégalité puisque (Un) est positive. Il suffirait donc de montrer que $3$\rm U_{n}\le 2$

Une petite récurrence !
U0 est bien inférieur à 2.

On suppose que c'est vrai pour un certain n, alors $3$\rm U_{n+1}=\sqrt{U_{n}+2}\le \sqrt{2+2}\le 2$ c'est donc encore vrai au rang n+1. C'est alors vrai pour tout n.

récurrence/suite/majoration

Posté le 07-09-08 à 21:16

Posté par pasiphaé

Merci beaucoup

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