Simplifier des sinus et des cosinus

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

Bonjour,

Est ce que vous pourriez m'aider pour cet exercice car je bloque complétement :


Soit n un entier strictement positif, un réel appartenant à ]0;[. On considère :

S(n) = cos²+ cos² x cos(2) + cos^3() x cos(3) + .... + cos^n() x cos(n)


S'(n) = cos() x sin() + cos²() x sin(2) + cos^3() x sin(3) + .... + cos^n() x sin(n)


Simplifier au maximum l'écriture S(n) + iS'(n)



Merci d'avance pour votre aide

Posté par raymond raymond

Bonsoir.

J'écris "t" au lieu de

S_n + iS'_n = cost(cost+isint) + cos²t(cos2t+isin2t) + ... + cosⁿt(cosnt+isinnt)

Mais coskt+isinkt = (cost+isint)^k

En posant z = cost+isint, cela donne donc :

S_n + iS'_n = z.cost + (z.cost)² + ... + (z.cost)ⁿ

Pense alors à la somme des termes d'une suite géométrique.

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

ok j'ai compris merci Raymond.


Donc je trouve : Sn + iS'n =(1-(z.cost)^(n+1)) / (1-z.cost)


Et comment faire pour déduire que Sn = (cosⁿ⁺¹t .sin(nt)) / sint
et donner une expression simplifiée de S'n ?


Merci d'avance ... c'est ma dernière question après le reste je réussis

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

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Posté par lefoudemaths lefoudemaths

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Posté par raymond raymond

Bonsoir.

Tu as un terme à mettre en facteur au début.



Le dénominateur est : 1-(cost+isint).cost = 1-cos²t - isintcost = sin²t - isintcost = sint(sint - icost)

En multipliant haut et bas par sint + icost, le dénominateur devient :

sin(sint - icost)(sint + icost) = sint

Pour le numérateur (n'oublie pas de multiplier par sint + icost) remplace z par cost + isint, puis sépare les parties réelle et imaginaire.

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

Merci beaucoup je viens de comprendre. Mais maintenant je bloque sur la suite :


On suppose que l'équation (1) à une racine complexe non réelle x₀, de module distinct de 1.

Montrer qu'alors elle a aussi pour racine le conjugué du complexe x₀ ainsi que 1/x₀



Merci beaucoup pour votre aide

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

Oups ... je me suis trompé de topic ... excusez moi

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

J'obtiens sin(t) en dénominateur comme prévu ... mais en numérateur j'ai ça :



(sint + i cost) (1 - (cost (cost + i sint))^n )

j'arrive pas à séparer la partie réelle de la partie imaginaire. Comment faire pour mettre les i d'un côtés ?

Merci de votre aide

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

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Posté par raymond raymond

Nous avons déjà utilisé cette formule plus haut :

(cost + isint)ⁿ = cosnt + isinnt

Ensuite, développe.

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

ok

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

Donc j'ai développer cette expression (sint + i cost) (1 - (cosⁿt (cosnt + i sinnt)) (cost(cost + isint)

Est ce que le bon résultat est celui ci ? :


cosⁿ⁺¹t sinnt + i cost (1-cosⁿt cosⁿt)

Merci d'avance

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

Excusez moi je voulais écrire :

cosⁿ⁺¹t sinnt + i cost (1-cosⁿt cosnt)

Posté par lefoudemaths lefoudemaths

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