PILE: Je gagne et FACE: Tu perds

Posté par TalMarciano TalMarciano

BOnjour, je suis tombe sur ce site par hasard que je trouve formidable, et je tiens a te remercier et te feliciter pour ces enigmes.
Cette enigme a ete poste il y a deja 4 ans mais j aimerai apporter une petite precision quant a la correction.
En fait les tenants des deux solutions ont raisons a leur facon, 1/3 et 1/2 peuvent etre toutes deux des solutions correctes mais tout depend de la facon dont on pose effectivement le probleme.
Nous sommes en face d un probleme typique de probabilite du genre "quelle est la probabilite d avoir X sachant Y?"
Tout le probleme est de savoir ou nous placons le "sachant" dans le temps.
Si la question posee est"quelle est la probabilite d obtenir un cote PILE sachant que l on a deja tire un cote FACE?" alors la reponse est 1/2 sans la moindre ambiguite possible. Sur la table nous avon un cote face qui a deja ete pose. On ne peut pas prendre en compte le fait que nous pouvons avoir Face1-Face2 ou Face2-Face1. Nous sommes deja en presence de l une de ces possibilites A POSTERIORI. Donc si l on retourne la piece nous avons soit un cote Face (si nous sommes en presence d une piece FACE_FACE) soit un cote PIle (si nous sommes en presence d une piece FACE_PILE). ET la probabilite est bien un Demi.
Par contre si la question posee etait: "QUelle est la probabilite de tirer une piece sur le cote Face et que le cote en dessous soit Pile?" ALors effectivement dans cette situation la reponse est un tiers. Car si nous prenons en compte tous les resutlats possibles comme tu l as fait alors effectivement nous avons TRois possibiltes et la reponses est un tiers.
Toute la subtilite dans le genre de probleme "quelles probabilite d obtenir X sachant Y?" est de savoir ce que nous savons effectivement, ce qui ne peut plus etre remis en cause.
Ce probleme est extremement interessant a mon sens dans la mesure ou si l on fait l experience on va effectivement trouver une reponse de 1/3.
Parceque dans ce genre d experience on repond a la seconde question mais pas a celle que tu as pose.
Il est impossible donc d experimenter la premiere question en faisant des tirages successifs, car c est une question je me repete A POSTERIORI.
Le probleme c est que tu a pose ta question en demandant "si j ai deja une face FACE, quelle est la probabilite si je retourne cette piece d obtenir PILE?". La reponse encore une fois sans ancune ambiguite possible est un demi.
En tout cas l idee de l enigme est vraiment super
Tal

Posté par J-P J-P

Je ne partage pas ton analyse TalMarciano.

La

Posté par J-P J-P

Zut mauvaise manip.

Je ne partage pas ton analyse TalMarciano.

La proba était de 1/3 comme expliqué.

Mais je sais que ce genre de question partage souvent les réponses en 2 groupes distincts, chacun étant sûr ce qu'il pense.

Posté par TalMarciano TalMarciano

Salut, merci mais si j ai tort je ne tiens pas a rester campe sur ma position, alors j aimerai que tu me dises pourqoi tu penses que mon analyse est fausse en te basant sur elle,
Par exemple je reprend ton explication et je t explique pourquoi je ne suis pas d accord avec,

"Mais si c'est la pièce normale qu'on a tiré, il n'y a qu'une seule façon conforme au problème pour la poser sur la table.
C'est Face au dessus et Pile en dessous.
Par contre, si on a tiré la pièce à 2 faces, on peut la poser sur 1 coté OU bien sur l'autre (donc 2 façons de la poser) et dans les 2 cas on aura bien Face en dessous."
Certes on aurai pu tirer la piece a deux faces de deux facons differentes mais une fois tiree cela n a plus d importance on a pas deux chances d avoir un cote face, il ne s agit pas de superposition d etats comme en mecanique quantiques.
On peut poser comme tu dis la piece face sur un cote ou sur l autre, mais ceci comme je l ai dis dans le poste precedent est vrai AVANT de poser la piece, si on est au stade de poser la piece alors effectivement la probabilite est de 1/3 car 3 combinaisons possibles. Mais une fois la piece posee elle tombe a 1/2.
Donc, la probablite "d obtenir Pile en bas ET face en haut" est 1/3
MAIS, la probabilite"d obtenir PILE en bas SACHANT face deja en haut" est 1/2.
Car on ne peut plus prendre en compte le fait que la piece FACE-FACE aurait pu etre posee d une autre facon, elle est deja meme si on ne le sait pas posee d une certaine facon et il ne reste plus que deux possibilites.

Posté par rogerd rogerd

Bonjour!

Je découvre moi aussi cette énigme vieille de quatre ans et fort intéressante.
Le A POSTERIORI pointé par TalMarciano remet effectivement tout en cause et nous branche sur les probabilités conditionnées.
Le problème était clairement posé et il doit donc y avoir UNE réponse juste. Mais quelle est cette réponse?

Je sèche..

A l'aide!

Posté par rogerd rogerd

Mille excuses à TalMarciano: je viens seulement de découvrir son dernier courrier.

Posté par kioups kioups

Perso, je n'ai pas lu le détail des conversations ni l'énigme, mais je suis complètement d'accord avec JP quand il dit :




J'ai déjà rencontré à plusieurs reprises ce genre de problèmes et je m'y suis toujours cassé les dents !

Je crois que c'est assez proche du truc :

- un animateur de jeu propose 3 boîtes à une personne. Elle en choisit une et l'animateur lui dit : "vous pouvez encore changer". Doit-elle changer ou pas ? La réponse est alors oui.

Je crois que c'est une question de formulation, mais c'est pas moi qui vais essayer de départager qui que ce soit là-dessus, je nage complètement !

Posté par J-P J-P

Il faut déterminer tous les cas équiprobables qui existe.

On ferme les yeux, on tire une pièce dans le sac et on la pose sur une de ses faces sur la table (les yeux fermés, on ne triche pas).

Les cas équiprobables pour tirer une pièce et la poser sur la table sont: (coté vu, coté caché)

1chance sur 3 de tirer la pièce normale et 1chance sur 2 pour la poser sur le pile et une chance sur 2 pour la poser sur le coté face:
--> proba de 1/6 de PF et proba de 1/6 de FP

1chance sur 3 de tirer la pièce à 2 faces et 1chance sur 2 pour la poser sur la face1 et une chance sur 2 pour la poser sur le coté face2:
--> proba de 1/6 de F1F2 et proba de 1/6 de F2F1

1chance sur 3 de tirer la pièce à 2 piles et 1chance sur 2 pour la poser sur le pile1 et une chance sur 2 pour la poser sur le coté pile2:
--> proba de 1/6 de P1P2 et proba de 1/6 de P2P1

On arrive donc au 6 cas équiprobables de tirage-posage :

PF
FP
PP
PP
FF
FF

On ouvre les yeux, et on constate qu'on voit une face, on sait donc que les cas FP, PP, PP sont à exclure.

Il reste donc les 3 cas équiprobables:
PF
FF
FF

Et c'est ici qu'il ne faut pas se planter, le fait que face soit au dessus est un fait avéré, il n'est pas question de vouloir réintroduire une quelconque probabilité sur cela, on n'a plus à tenir compte de la proba qu'on a eu d'en arriver là.

Et il est évident avec les 3 cas équiprobables restant que la proba d'avoir pile en dessous est 1/3
-----
Sans grand espoir d'avoir convaincu ceux qui pensent autrement.

Posté par rogerd rogerd

J.P.

Quand tu dis ,

je ne suis pas complètement convaincu par le "équiprobable"..

Posté par rogerd rogerd

Mille excuses J.P. d'avoir émis, à tort, des doutes sur ta démonstration.
Merci aussi de m'avoir replongé dans de lointains souvenirs de proba.

En fait, le "A posteriori" peut être réglé par la formule de Bayes et quand on applique celle-ci à l'exercice proposé, on trouve bien une probabilité de 1/3.

Bonne journée à tous.

Posté par lucas951 lucas951

Dommage que j'étais pas inscrit, ça aurait pu me faire un 6° smiley (j'aurais pas pensé à un tel échec sur une enigme pareille, tant pis)

Sinon faites-le avec pile si vous voulez, ça change pas ^^

Posté par J-P J-P



Fallait oser pour dire cela

Posté par TalMarciano TalMarciano

Effectivement je suis convaincu que la reponse etait bien 1/3!
Comme le rapelle Rogerd la formule de Bayes est une formule qui a une "memoire",
elle prend en compte ce qui s est passe auparavant et le a posteriori n a pas lieu d etre. On avait bien deux fois plus de chance de tirer la piece F-F que la F-P. C est tout bete "A posteriori".
J ai ete indui en erreure par le raisonnement consistant a dire qu il y avait equiprobabilite entre F1_F2, F2_F1 et F_P une fois la Face du dessus devoilee, car une fois la face devoilee il ne restait plus qu a y coller soit un P soit un F. Il faut le voir d une autre maniere, on a deux fois plus de chance de se trouver en presence de la piece F-F que de la piece P-F, les jeux sont deja faits des le depart. Peu importe ou l observateur intervient, il n influe pas sur les resultats de la mesure.
CE qu importe c est bien la facon de faire la mesure

Posté par lucas951 lucas951

Les énigmes à une étoile font mal en ce moment...

Sinon faudrait que je pense à faire quelques énigmes parfois pour éviter d'avoir des points négatifs au final ^^

Posté par minkus minkus

Salut,

Talmarciano, tu dois surement connaitre ça :

Posté par minkus minkus

Le paradoxe de Bertrand est encore plus savoureux

Posté par bil-out bil-out

Bonsoir,

j'arrive un peu tard mais bon...d'après l'énoncé de l'énigme, on sait déjà une chose avant de calculer la probabilité, c'est qu'un des côté de la pièce est face (celui que l'on voit), donc la pièce ne peut pas être "pile-pile".
Il ne reste alors que deux pièces possibles : "face-face" ou "face-pile" et donc une chance sur deux pour que la face cachée soit "face" (ou "pile").

En fait la proba est de 1/3 avant d'effectuer le tirage mais augmente à 1/2 dès lors que l'on a l'information supplémentaire "le côté visible est "face".

Pour tester cela, il suffit d'effectuer réellement ces tirages et de ne pas prendre en compte les cas où  un côté pile est apparent...mais là je n'ai ni le temps ni, le courage de le faire.

Posté par LeDino LeDino


Bil-out, pardon d'être direct, mais tu as une vision erronée du problème. Tu as raison de dire qu'il n'y a que deux pièces possibles : celà, tout le monde l'a parfaitement compris... Il est donc juste de dire qu'il ya un cas sur deux... mais cela ne veut pas dire qu'il y a une chance sur deux ...

Car la question n'est pas simplement de savoir quelle pièce a été tirée, mais de savoir aussi quelle coté est apparu. Ton erreur, et celle de la majorité des gens, c'est de confondre le tirage de la pièce et le tirage d'une pièce ET d'un coté de cette pièce.

Dans ce problème, il y avait au départ 6 cotés à choisir. Chacun avait autant de chances que les autres de l'être. Sur ces 6 possibilités de tirage, 3 seulement restent possibles (présentant un coté FACE). Et sur ces trois cas, deux correspondent au tirage de la pièce FACE/FACE et un seul au tirage de la pièce FACE/PILE.

Le résultat est donc bien 1/3 et il n'y a pas "d'interprétation" de l'énoncé ou de "sémantique" à considérer.

Si ça n'est pas clair, n'hésite pas à le dire.

Posté par bil-out bil-out

Ben j'ai beau faire des efforts, je ne comprends pas les explications qui mènent à 1/3.
Mais je dois admettre que mes connaissances en math (et surtout en proba) sont assez limitées.
Par contre, ma formation en sciences expérimentales me font aller facilement à la paillasse et en prenant trois jetons marqués PP, PF et FF que j'enferment dans un sac puis en effectuant des tirages d'un jeton au hasard, en le posant sur la table et en notant quelle est la face cachée quand celle visible est "face", j'arrice à un rapport Pile/Face de 1/1, c'est à dire à une face cachée "face" une fois sur deux...
et je ne vois pas ici d'ambiguité sur la façon d'effectuer les tirages (ce qui me laisse penser qu'on est pas dans un cas de "paradoxe" du type "paradoxe de Bertrand")

En plus ma santé mentale commence à m'inquiéter : tirer des jetons dans un sac à 1h du matin...

Posté par bil-out bil-out

Mea culpa...en poursuivant les tirages, la tendance semble bien être 1/3 ; 2/3

Et en poursuivant les recherches et en me penchant sur le probleme de Monty Hall et en passant une bonne nuit là dessus, mon horizon semble s'eclaircir et je crois que je comprend enfin.

En tout cas, je comprends pourquoi je n'ai jamais été très copain avec les proba et VIVE LA CHIMIE ! (Quoique la probabilité de présence d'un électron dans une zone de l'espace entourant un noyau (Schrödinger)...)

Mais voyons le bon côté des choses, ces enigmes me dérouillent un peu le cerveau, alors merci quand même.

Posté par LeDino LeDino

Bonjour Bil-out,

C'est vraiment bien que tu aies eu le courage et la patience de faire l'expérience pratique. Ce n'est pas évident à réaliser pratiquement parce qu'il faut "bricoler" des jetons vu que personne n'a de pièces truquées (celà dit, si quelqu'un en a, je suis acheteur : au boulot on décide souvent de qui va préparer le café à pile ou face ...).

J'avais bien pensé faire un essai sur tableur : ça prend quelques minutes à faire. Mais ce n'est pas "démonstratif"... Car le problème, c'est que pour programmer correctement il faut avoir "compris" la nature du tirage... Et quand on a compris la nature du tirage, le tableur ne fait que confirmer un calcul évident. Du reste, quelqu'un qui aurait mal compris la nature du tirage, programmera probablement une simulation sur tableur erronée...

L'expérience que tu as faite a l'intérêt de respecter le tirage réalisé :
1. On choisit une pièce dans le sac.
2. On la pose sur un coté (ce qui est finalement équivalent à lancer la pièce à pile ou face...).

Si tu veux encore mieux "visualiser" ce qui se passe, tu pourrais en plus de "P" et "F", inscrire des numéros sur tes pièces, de sortes que les cotés piles soient notés de 1 à 3 et idem pour les cotés faces. Tu aurais donc 3 pièces avec 6 cotés clairement différenciés : P1/P2, F1/F2, P3/F3.

Dans ce cas, les tirages possibles (tous équiprobables) sont les suivants (en notant en premier, le coté visible) :
P1/P2
P2/P1
F1/F2
F2/F1
P3/F3
F3/P3

Sont marqués en gras les cas qui restent possibles une fois qu'on sait que c'est un coté FACE qui est apparu. On voit alors qu'il y a 3 cas, correspondant à l'apparition respective des cotés F1, F2 et F3 (tous équiprobables). Or, seul le cas F3/P3 présente un coté caché PILE. Et cela fait donc bien un cas sur 3 (équiprobables).

Moralité :
Contrairement à ce que pas mal de gens pensent, les mathématiques ne sont pas qu'une affaire de "raisonnement". L'esprit humain n'est pas spontanément "logique" et rigoureux. Comprendre la théorie des probabilités est une chose. Savoir se débrouiller face à un problème de probabilité en est une autre.

Et le plus sûr moyen de progresser en proba n'est pas de bucher son cours, mais de s'exercer. S'entraîner, comme on s'entraîne à l'exécution d'un geste sportif. Au bout d'un certain temps, le "paysage" devient familier, et le cerveau apprend mieux à reconnaître les pièges et à proposer des réflexes et des repères qui permettent d'avancer de manière fiable.

En particulier, lorsque je vois des réponses du type :"yaka calculer la probabilité conditionnelle de truc sachant machin-chose...", je me sauve en courant, à peu près convaincu que le résultat trouvé sera aussi aléatoire que le tirage objet du problème .

En tout cas, merci bil-out de nous avoir fait partager ton expérience... et je te souhaite de bons "dérouillages de cerveau" .

Posté par LeDino LeDino


En fait si : c'est très important.
Car l'erreur commise dans ton raisonnement revient à "confondre" en un seul cas, le tirage du premier coté FACE et le tirage du second coté FACE de la pièce FF.

C'est un peu comme si au prétexte qu'elles ont la même apparence, on considérait que ces deux faces devenaient "confondues". Ce qui est parfaitement erroné puisque que ces deux faces existent bel et bien distinctement.

Si le problème était libellé comme suit, il n'y aurait plus de confusion possible :
Soit 3 pièces marquées respectivement 1/2, 3/5, 4/6.
Un expérimentateur tire une pièce et regarde une face (au hasard). Il nous dit alors que cette face porte un numéro impair. Quelle est la probabilité que la face cachée porte un numéro pair ?

Dans ce cas, le calcul est assez simple : l'expérimentateur a pu tirer avec autant de chances, n'importe quel numéro parmi les 6 possibles. Comme on sait que ce numéro est impair, il s'agit donc de 1, 3 ou 5. Dans ces trois cas, le coté opposé est respectivement : 2, 5 et 3. Il y a donc 1 seul cas sur 3 répondant à la question.

Ce problème a la même structure que celui posé dans l'énigme (avec Pair=Pile, Impair=Face). Simplement, ici on ne "confond plus" les deux cotés face de la pièce FF, et celà parce qu'elles portent un numéro qui les distingue.

Si on veut raisonner correctement avec l'énoncé initial, le plus simple est donc de donner un "nom" différenciateur à chaque coté. Par exemple F1/F2, P1/P2, F3/P3.

En résumé, et pour répondre à ta question :
L'erreur que tu commets (avec pas mal de gens) c'est de ne pas faire de différence entre les deux cotés de la pièce FF, simplement parce que ces faces ont la même apparence. Pourtant elles existent et elles sont distinctes.

En espérant que cette explication touche sa cible ...