Bonjour
en montrant qu'elle est strictement monotone, continue, avec les bonnes limites ?

Elle est continue car sh(x)=(e(x)-e(-x))/2(somme de deux fonctions continues)
En dérivant on a :
(sh)'(x)= (e(x)+e(-x))/2 (ce qui est strictement positif) donc sh est strictement croissante.
lim (x->0) sh(x)=0 et lim (x-> infini)sh(x)= + l'infini
Pourquoi en faisant cela je montre que c'est une bijection ?

IR commence en -oo, pas en 0

toute fonction strictement monotone est injective, et toute fonction continue vérifie les valeurs intermédiaires, ce qui te donne la surjectivité

sinon, tu peux résoudre l'équation sh(x)=y et montrer qu'elle a une unique solution x pour chaque y réel