Peintre en bâtiment.

Posté par J-P J-P

Mathieu est peintre en bâtiment.

Il doit repeindre la parquet d'un couloir (en vert sur le dessin) qui fait le tour d'une salle circulaire.
Les murs intérieur et extérieur du couloir sont sur des cercles concentriques.

Son patron lui demande de mesurer l'aire du couloir pour pouvoir prévoir la quantité de couleur nécessaire au travail.

Mathieu n'ayant pas beaucoup de connaissances mathématiques s'est contenté de mesurer une seule distance. Soit la distance indiquée en rouge sur le plan. (Elle est tangente au petit cercle).

Cette mesure est-elle suffisante pour pouvoir calculer l'aire du couloir ?

Si vous pensez que non, indiquer que le calcul de l'aire du couloir est impossible.
Si vous pensez que oui, indiquer quelle est l'aire du couloir et préciser comment vous l'avez évaluée.
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Clôture de l'énigme dimanche.

Bonne chance à tous.

Posté par papé (invité)

Bonjour,
Je pense qu'il a pris la bonne mesure
r=rayon petit cercle
R=rayon grand cercle
4^2+r^2=R^2R^2-r^2=4^2
Surface verte=((R^2)/4)-((r^2)/4)=(/4)*4^2=4
A bientôt

Posté par ofool ofool



Bonjour,

L'aire cherchée soit A est celle du grand cercle  de rayon y moins celle du petit cercle de rayon x:
A=(y²-x²)

Considérons le triangle de sommet O (centre des deux cercles)et dont un côté est le trait rouge joignant les sommets A ET B ;C'est un triangle isocèle OA=OB  et dont la hauteur vaut x.Si H est le projeté de O sur [AB] On a donc:OA²-OH²=OA²16=y²-x²

    A=*16 m²

                        

Posté par screen screen

Bonjour,
Il me semble que cette mesure est suffisante pour calculer l'aire du couloir.
R1 et R2 étant les rayons du cercle intérieur et extérieur respectivement.
étant l'angle entre la ligne qui descend perpendicualirement sur la section de 8 metres de longue et la ligne qui relie du centre des cercles au bout de la section de 8 metres comme indiqué sur la figure que j'ai essayé de retracer.



Alors l'aire à calculer sera :
(R₂² - R₁²)

On prend sin = 4 / R₂
cos = R₁ / R₂
sin²+cos²= 1
On remet sin et cos dans l'équation:
(4/R₂)²+(R₁ / R₂)² = 1
(16 + R₁²)/R₂² = 1
R₂²-R₁²=16

On met cette valeur dans la formule de calcul de l'aire :
(R₂²-R₁²) = *16
Donc l'aire du couloir serait de 16m²

Posté par noluck noluck

Cette mesure est en effet suffisante pour calculer la surface verte.
Soient :
  x le rayon du cercle interieur,
  y le rayon du cercle exterieur,
  A l'aire cherchee.
Comme les cercles sont concentriques et le segment est tangent au cercle interieur, d'apres le theoreme de Pythagore, on a y²=x²+(8/2)², autrement dit y²=x²+16.
Donc A=y²-x²
=(y²-x²)
=(x²+16-x²)
=16.
Par contre, on ne peut pas connaitre les valeurs de x et de y...

Posté par Lopez Lopez

Oui, et l'aire est égale à 16*Pi = 50,24

L'aire en vert = (-)*Pi
( * = signe de multiplication )
Je ne peux pas reproduire la figure mais je vais essayer d'expliquer.
A pt d'intersection de la tangente et du grand cercle.
B pt d'intersection de la tangente et du petit cercle.
O centre des deux cercles.
R rayon du grand cercle
r rayon du petit cercle
On AB = 4 m, AO = R, BO = r et ABO triangle rectangle en B car BO perpendiculaire à la tangente en B. On applique le théorème de Pythagore et on obtient: +=
16 = -
On remplace dans la formule de l'aire.

Posté par Ksilver Ksilver

air total = aire grand cercle - aire petit cercle
= pi R²-pi r² = pi (R²-r²)

or la distance mesurer par mathieur est le double du coté d'un triange rectange ayant pour autre coté un rayon du petit cercle et pour hypothenus un rayon du grand cercle

donc 4² +r² =R²
R²-r²=4²

donc l'air total est de 16pi il est doué ce mathieu dis donc ?

Posté par isisstruiss isisstruiss

Je voulais répondre non, mais en cherchant une justification j'ai trouvé que la surface est uniquement déterminée!
J'appelle R le rayon du grand cercle, r celui du petit. Le centre C des cercles se trouvera sur la droite perpendiculaire au segment de 8m passant par le milieu du segment. Je construit le triangle rectangle CIE où I est l'intersection entre le petit cercle et le segment tangent et E une des extrémités du segment. Ce triangle est rectangle en I et d(C,I)=r d(I,E)=4 d(E,C)=R. J'appelle l'angle ICE.

On a et d'où et .

Calculons l'aire du couloir en fonction de :



Donc la surface est bien déterminée et vaut 16m²

Isis

Posté par kok (invité)

*challenge en cours*

Posté par franz franz

Matthieu, mathématicien émérite affirme que la seule mesure de la corde suffit et
que l'aire du couloir vaut .

En effet, si on désigne par
O le centre des 2 cercles,
et les rayons du cercle intérieur et extérieur respectivement,
M et N les extrémités du segment mesuré et
la moitié de l'angle


L'aire à peindre vaut


Or

Donc

d'où le résultat.

PS : à mon sens, c'est une hérésie de repeindre un parquet.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Soit R le rayon du grand cercle et r celui du petit.
La surface du couloir est S = (R²-r²)
Or, on remarque que le triangle OAB (avec O le centre des cercles, A le point de tangence et B l'un des deux points d'intersection de la tangente avec le grand cercle) est rectangle en A.
On a AB = 8/2 = 4m
De plus (R²-r²) = AB²=16
Donc S= 16= 50,24 m²

Posté par daniel12345 (invité)


   Surface=16

Soit O centre des cercles.A et B extremites du segment de 8m. R  rayon du grand cercle CR ; r rayon du petit cercle Cr .I milieu de AB
on a surface grand cercle CR=R²
on a surface petit cercle Cr=r²
surface couloir =(R²-r²)

OI perpendiculaire a AB (AOB isocele)
Pythagore donne 4²+r²=R² donc 4²=R²-r²
donc surface couloir devient 4²

Posté par ericbfd (invité)

On designe par x, le rayon du petit cercle et par y, celui du grand cercle.
L'aire du couloir s'exprime alors par (y²-x²)
On construit ensuite un triangle rectangle en traçant 2 segments de droite qui partent du centre des 2 cercles, le premier de longueur y pour rejoindre l'une des extremités de la droite rouge et le second de longueur x  jusqu'a son centre.
Le theoreme de Pythagore nous permet d'ecrire que
x² + 4² = y²
D'oú :y² - x² = 16

L'aire vaut donc 16 m².

Posté par gilbert (invité)

Cette mesure est bien suffisante.
On partage le triangle isocèle de sommet O (centre des deux cercles) et de côté R (rayon du plus grand cercle) en deux triangles rectangles égaux.
côté 1 de l'angle droit = r (rayon du plus petit cercle)
côté 2 de l'agle droit = 8/2 = 4m
Hypothénuse = R
On a donc R²= r²+ 4²
R²- r²= 4²=16
La surface à peindre est égale à (R²- r²), elle est donc égale à 16 soit 50,24 m²

Posté par pietro (invité)

Cette mesure est suffisante et l'aire à peindre vaut 16 m².
Preuve:
Travaillons analytiquement. Considérons ces 2 cercles centrés à l'origine du repère et ayant pour rayons respectifs R pour le grand et r pour le petit.
A(r,0) est un point du petit cercle. Soit B(r,y) le point du grand cercle d'ordonnée positive et ayant la même abscisse que A. Ses coordonnées vérifient x²+y²= R² avex x=r; donc y²= R²-r². D'après l'énoncé y = 4, d'où R²-r² = 16.
Il y a une infinité de couples de valeurs qui conviennent pour R et r. par exemple R= m avec r = 1 m ou encore
R = 5 m avec r = 3 m.
Cependant l'aire à peindre vaut R² - r² ou encore .(R²-r²) qui vaut tjs 16 (m²)

Posté par nyko_71 (invité)

moi je pense que cette mesure n'est pas suffisante car avec seulement cette mesure on peut construire deux cas extremes un avec une aire de couloir égale a 16 (un point et un cercle de 4m de rayon)  et un autre avec une aire égale a 0(deux cercles confondus)...
voila c'était ma première participation , y  ayant pas trop réfléchi j'espère ne pas avoir fait une trop grossière erreur.

Posté par ametist (invité)

On trace la médiatrice (D) du segment mesuré [AB] !

On a (D) perpendiculaire à [AB] passant par son milieu I.

(D) passe par le centre des cercles O

Si on s'intéresse au triangle OIB, il est rectangle par construction et de plus [OI]=r et [OB]=R
et [IB] = 1/2 * 8 = 4

donc pythagore permet d'écrire que 16+r^2=R^2
Or la surface à peindre S=pi*(R^2-r^2)

donc La surface vaut 16*pi
un peu plus de 50m^2

Posté par mizoun (invité)

salut a tous

oui il est possible de caluler l'aire:

soit a le rayon du plus petit cerlce alors l'aire du disque vaut a².
et l'aire du grand disque vaut alors (((8/2)²+a²))²
soit 16 + a²

l'aire de la surface verte est la différence entre l'air du petit disuqe et celle du grand disque donc aire verte = 16 + a² - a² =16 m²


La réponse est donc 16 m² et ceci quelque soit la longueur du rayon du petit cercle.

a bientot ++

Posté par jetset (invité)

Bon j'y vais mais étant donné le nombre de poissons que j'ai pris ces temps derniers, je vais finir par avoir la nausée:

Je note:
r: rayon du cercle intérieur
R: rayon du cercle extérieur

Surface du couloir = S = R² - r²= (R²-r²)

Je nomme O le centre des cercles, T le point intersection du cercle intérieur avec la tangente à ce dernier, M et M' les points d'intersection de la tangente avec le cercle extérieur.

OMT et OMT' sont des triangles rectangles en T, car OM=OM'=R, donc OMM' isocèle et OT hauteur de OMM'. D'où TM=TM'=8/2=4. Par ailleurs, OT=r
Par application du théorème de Pythagore:
R²=r²+4²
En injectant la valeur de R² dans l'expression de S, il vient:
S = (R²-r²) = ((r²+16)-r²)
= 16

Donc on s'autorise à penser dans les milieux autorisés que la possibilité que la surface du couloir ait éventuellement une valeur qui serait probablement égale à 16 est à considérer comme étant ma réponse

Posté par Ptit_belge Ptit_belge

Bonjour,

La mesure de la longueur de la corde suffit pour connaître la surface à peindre!

Explication:
Défnissons les grandeurs suvantes:
R: rayon du cercle extérieur
r: rayon du cercle intérieur
c: demi-corde mesurée par Mathieu

L'examen de la figure montre que R, r et la demi-corde c forment un triangle rectangle.
Donc R² = r² + c²
La surface cherchée est celle de la couronne de rayon extérieur R et de rayon intérieur r.
Cette surface est S=(R²-r²), c'est-à-dire S=c²=16 m² = 50.2655 m²

Posté par geant (invité)

il ne peut pas calculer l aire du couloir il lui aurai fallu le rayon du grand cercle et celui du petit cercle .

Posté par J-P J-P

Bravo à tous ceux qui ont trouvé.

L'évaluation de l'aire était possible.
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Dans le triangle rectangle ABC, Pythagore --> R² = r² + 4²

R² - r² = 16

Aire du couloir = aire du grand cercle - aire du petit cercle.
Aire du couloir = Pi.R² - Pi.r²
Aire du couloir = Pi(R² - r²)

Aire du couloir = 16.Pi m²