Challenge n°56

Posté par puisea puisea

Bonjour tout le monde, voici une nouvelle énigme :

combien existe-il de nombre(s) entier(s) naturel(s) N tel que: soit entier ?

Bonne chance à tous !!

Posté par pietro (invité)

= 1 +
Quel que soit l'entier naturel N la fraction a son dénominateur qui vaut au minimum 7. Cette fraction sera donc toujours un nombre réel au plus égal à , et qui va bien sur en diminuant quand N augmente. Cette fraction ne sera jamais par conséquent un nombre entier, et ajoutée à l'entier 1 même chose.
En résumé plus grande valeur de l'expression : =1,58... Si n tend vers l'infini, la valeur de la fraction tend vers 0, et l'expression tend vers 1. Mais l'infini n'est pas un entier, donc il n'y a acune valeur de N entier naturel qui rende
entier.

Posté par gilbert (invité)

On démontre facilement que la fonction f(x) = (x +11)/(x+7) est décroissante sur⁺ donc sur et bornée par 1.
La valeur de la fraction pour la plus petite valeur de N, soit N=1 est égale à 12/8=3/2.

Donc on a 3/2(N+11)/(N+7)< 1.
Il est donc impossible que cette fraction soit égale à un entier !!!

Posté par isisstruiss isisstruiss

Il n'en existe aucun!
Pour le voir, il suffit de considérer la suite . Il est facile de voir que cette suite est décroissante (si ce n'est pas intuitif calculer ) et la première valeur de la suite est La suite étant donc décroissante les seules valeurs entières possibles seraient et , mais il n'existe pas de N entier naturel tel que x ait une de ces valeurs là. D'ailleurs la limite de la suite (quand N va vers l'infini) est 1, donc plus N est grand plus on se rapproche du nombre N cherché, mais on n'y arrive jamais!

Posté par Lopez Lopez

Aucun

Posté par Ksilver Ksilver

on pose(N+11)/(N+7) =k

N+11=/=N+7 donc K est different de 1 donc K>=2

on pose f(x)=(x+11)/(x+7) (pour tous x reel positif)

la fonction est derivable sur R+

f'(x)=(X+7-X-11)/(x+7)² = -5/(x+7)²
f'(x) < 0
donc f(x) est decroissante sur R

donc la fonction N-->(N+11)/(N+7) pour tous N entier naturel est deroissante or pour N=1 K=11/7 k<2 donc pour tous N superieur a 1 K<2 et comme K >1 K ne peut pas etre un entier


DONC il n'existe aucun entier naturel telle que (N+11)/(N+7) soit un entier.

Posté par ametist (invité)


Comme N>=0, le résultat est forcément positif donc le résultat est également entier naturel :
N=0  ==> (N+11)/(N+7)=11/7 pas entier
Si (N+11)/(N+7) = i avec i>1 car N+11 > N+7
on a N*(1-i)=7*i-11  et 1-i < 0 et 7*i-11 > 0
donc N<0 ce qui est impossible

==> Pas de solution

Posté par franz franz



Comme








Il n'existe pas d'entier strictement compris entre 1 et 2.


Il n'existe pas d'entier naturel N tel que


(En revanche, si on assouplit la contrainte sur N et que l'on recherche des solutions dans , l'équation admet l'ensemble des solutions suivant :
)

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Pour N , (N+11)>(N+7).
Donc si (N+11)/(N+7)est entier, il est au moins égal à 2.
Soit N+112(N+7)
Donc, N-3, ce qui est impossible puisque N .
Il y a donc aucune valeur de N entier naturel, tel que N+11/N+7 soit entier.

Posté par c_mout (invité)

l'ensembles des solutions s'étend sur -l'infini ; +l'infini, sauf {-11;-7}

Posté par nyko_71 (invité)

Il n'en existe pas car la fonction N   N+11/N+7 est strictement décroissante sur   [0;+ [ et de plus elle a pour valeur en 0 ,  11/7   ]1;2[ et est équivalente en +  a 1...
Donc un tel entier N n'existe pas car il n'ya pas d'entier dans ]1;11/7].

Posté par Belge-FDLE Belge-FDLE

Salut à tous ,

Ma réponse est : Aucun.

Raisonnement :
On a :

Ainsi, pour que    soit entier, il faut que    soit aussi un entier
Comme N entier naturel, on a : .
Par conséquent,    ne peut être entier si N est un entier naturel, et il en va de même pour  

Conclusion : On ne peut trouver aucun entier naturel N qui convienne.

Voili, voilou .
Bonne chance à tous , et merci à Puisea pour cette énigme .

À +

Posté par pinotte (invité)

J'aime pas ce genre d'énigmes, mais je tente ma chance quand même.

  tel que k






Les nombres n doivent donc être de cette forme. On remarque que peu importe la valeur de k (sauf 1), on obtiendra un numérateur positif et un dénominateur négatif, ce qui nous donne une valeur négative pour n. Or, n, donc ne peut prendre aucune valeur négative!

Il n'y a donc aucun entier naturel répondant à cette condition.

Posté par ericbfd (invité)

Si est un entier, alors on a: tel que M
D'oú N=
Puisque N est entier naturel, il faut que :

Cela est vrai si numerateur et denominateur sont de mème signe :

Cas 1: 7M-11 et 1-M impliquent que M et M.Il n'existe donc aucune valeur de M pour laquelle le numerateur et le denominateur de la fraction soient positifs.

Cas 2: 7M-11 et 1-M impliquent que M et M.Il n'existe donc aucune valeur de M pour laquelle le numerateur et le denominateur de la fraction soient positifs.


1-M

Posté par jetset (invité)

Aucun

Posté par daniel12345 (invité)



  Pas de solution

Posté par Korpakyman9 (invité)

il n'en existe pas n+11/n+7 ne peut pas etre un  entier

Posté par Archange21 Archange21

Salut,
Personnellement je dirais [i]aucun[/i]
Comme N alors N0
Or donc
Ce qui revient à dire :
Par conséquent, il n'existe aucun entier naturel N pour que soit entier.
Allez, @+

Posté par (invité)

Bon vu que j'arrive pas à utiliser la mise en forme (il met une ereur :s) J'ai pas les smiley non plus :s

Enfin je vasi quand meme essayer de résoudre ce challenge :

Pour que (N+11)/(N+7) Soit un entier, il faut que
(N+11)/N+7)=k avec k un entier naturel.
N+11=Nk+7k
N(k-1)=11-7k
N=(11-7k)/(k-1)  k étant different de 1

Pour que ce quotient soit un entier, il faut que 11-7k et k-1 soient du meme signe .
11-7k est positif si k<int(11/7) <=> k<=1

k-1 est positif si k>1

Si on regarde les possibilités pour que k réunisse ces deux conditions, on s'apercoit qu'il n'y en a aucune

Ma réponse est donc qu'il n'existe aucun N entier naturel tel que (11+N)/(7+N) soit un entier.

Posté par CastorFantome (invité)

Je tiens à m'excuser, le post poster en anonyme est de moi, aillant pas mal de difficulté avec le site qui ne s'affiche que quand il le veut :s , je croyais m'être identifié mais il semblerait que non....

Bon vu que j'arrive pas à utiliser la mise en forme (il met une ereur :s) J'ai pas les smiley non plus :s

Enfin je vasi quand meme essayer de résoudre ce challenge :

Pour que (N+11)/(N+7) Soit un entier, il faut que
(N+11)/N+7)=k avec k un entier naturel.
N+11=Nk+7k
N(k-1)=11-7k
N=(11-7k)/(k-1)  k étant different de 1

Pour que ce quotient soit un entier, il faut que 11-7k et k-1 soient du meme signe .
11-7k est positif si k<int(11/7) <=> k<=1

k-1 est positif si k>1

Si on regarde les possibilités pour que k réunisse ces deux conditions, on s'apercoit qu'il n'y en a aucune

Ma réponse est donc qu'il n'existe aucun N entier naturel tel que (11+N)/(7+N) soit un entier.

Posté par K-tsuo911 (invité)

BONJOUR TT LE MONDE!!

Dans un premier temps je sais que je vais avoir un poisson mais c'est pas grave

Ensuite, pour répondre à cette énigme je serais tenté de dire que les réponses sont 9999999999999999989, 19999999999999999978 ..etc mais ils sont en faites égale à 1.0000000000000000002 donc en conclusion je dirais qu'il n'exite aucun entier N.

Voilà j'espère que c'est assez clair et sinon Bonne chance a tous!!

Posté par noluck noluck

je pense que je vais dire une anerie... et pourtant je vois pas autrement! je dirai qu il n exite pas d entiers naturels vérifiant ce qui est demande.
(par contre il existe des entiers relatifs : -2, -5 et -6).

Posté par puisea puisea

Bravo à tous pour votre participation, presque un sans faute pour cette énigme. En effet la réponse attendue était : aucun nombre entier naturel.


Prochaine énigme ds un instant


@+