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homomophismes
Bonjour à tous !
On me demande d'expliciter tous les homomorphismes Z/mZ -> Z/nZ.
Je ne sais pas trop comment m'y prendre.
Il est clair qu'il faut que je trouve un morphisme f de Z/mZ dans Z/nZ avec f(x+y) = f(x)+f(y).
Z/mZ est l'ensemble des classe d'équivalence de la congruence modulo m.
Mais comment trouver une fonction f qui transforme les classe d'équivalences modulo m en classes d'équivalence modulo n ??
Bonjour,
Est-ce qu'il est fait des hypothèses sur m et n ou bien sont-ils quelconques ?
Est-ce (Z/kZ, +) (groupe additif) ou (Z/kZ, .) (groupe multiplicatif) qui est considéré ? (Ca ne change pas grand chose mais ça permettra de mieux fixer les idées de le savoir).
Sinon, note que tu devras aussi avoir f(e) = e' où e est le neutre de Z/mZ et e' le neutre de Z/nZ.
Enfin, pour tout [k] dans Z/mZ = {[0], [1], ..., [m-1] }, [k] est aussi un élément de Z/nZ : en effet, la division euclidienne nous assure l'existence d'un couple (h,r) tel que : k = hn + r avec 0 <= r < n et [k] = [r]. Il s'ensuit que f : [k] |---> [k] est un morphisme de Z/mZ dans Z/nZ. Maintenant, est-ce qu'il y en a d'autres, je ne sais pas...
J'espère que ça t'aura un peu aidé.
Bon courage,
Bonjour
>Bruno0693 Vérifie si en prenant avec m=2 et n=3 f(cl2(1))=cl3(1) tu trouves un homomorphisme!
Alors: Il s'agit certainement des groupes additifs. je note (comme on peut le voir), clk(x) la classe modulo k de x.
Un homomorphisme f de Z/mZ dans un groupe est entièrement défini par f(clm(1)) car f(clm(2))=f(clm(1))+f(clm(1)) ... et ainsi de suite!
Le problème: dans Z/mZ, on a m.cl(m(1))=clm(0). Donc dans le groupe d'arrivée, ici Z/nZ, on doit avoir m.f(clm(1))=cln(0).
Je vous laisse méditer...
Bonjour,
Il me manque surement un détail pour bien comprendre.
Si je prends, par exemple, m=5 et n=3. En prenant (Z/kZ, +).
Avec f([a]) = [a]
Alors j'ai :
Z/5Z = {[0], [1], ..., [4]}
Z/3Z = {[0], [1], [2]}
[3] et [2] sont deux éléments de Z/5Z
f([3]+[2]) = f([5]) = f([0]) = [0]
f([3]) + f([2]) = [3] + [2] = [0] + [2] = [2] (car [3] dans Z/3Z vaut [0])
Est-ce que tu pourrais m'aider à trouver mon erreur ?
Merci.
Pardon Camélia, nos messages se sont croisés et je m'adressais à Bruno avant de voir que tu avais posté une réponse.
Ma question précédente était de savoir si mon contre-exemple était erroné.
On est donc bien d'accord pour dire que la fonction n'est pas un homomorphisme.
Merci pour tes explications. Je crois que j'ai trouvé mon homomorphisme grâce à ton astuce sur le fait de chercher tel que
.
OK! La fonction f(cl5(x))=cl3(x), non seulement n'est pas un morphisme, mais n'est même pas une fonction bien définie! Justement parceque 5 est congru à 0 mod 5 mais 5 n'est pas congru à 0 mod 3.
En fait dans beaucoup de cas le seul morphisme de Z/mZ dans Z/nZ est le morphisme nul!
Salut Camélia,
Finalement a-t-on la chose suivante :
f mophisme de Z/mZ dans Z/nZ <=> m.f(clm(1)) = cln(0) <=> (n divise m) ou (f est le morphisme nul)
Est-ce que ça épuise toutes les possibilités ?
Salut !
Merci pour ta réponse. Je crois que je vois un peu mieux.
Soient m et n deux entiers non nuls.
Si n = 1, il n'y qu'une seule possibilité : c'est le morphisme nul.
Supposons .
Il y a alors deux cas possibles :
1°) m et n ne sont pas premiers entre eux.
2°) m et n sont premiers entre eux.
- Dans le cas 1°) :
Soit d = pgcd (m,n) > 1. Il existe alors k dans ]0, m[, tel que : m = kd, et k' dans ]0, n[ tel que n = k'd.
Considérons un morphisme f de Z/mZ dans Z/nZ. On a montré que f est entièrement déterminé par f(clm(1)) et doit vérifier m.f(clm(1)) = cln(0).
Montrons que cette condition peut être réalisée pour un morphisme non nul. Posons f(clm(1)) = cln(k') où k' pas égal à 0 ni à un multiple de n (donc f est non nul).
Alors : m.f(clm(1)) = kd.cln(k') = k.cln(dk') =k.cln(n) = cln(0).
Ainsi, f vérifie bien la condition nécessaire.
- Dans le cas 2°) :
Supposons, parl'absurde, qu'il existe un morphisme f non nul entre Z/mZ et Z/nZ. Posons f(clm(1)) = cln(k) où k est dans ]0,n[.
Alors, comme f est un morphisme on doit avoir : m.f(clm(1)) = cln(0), c'est-à-dire :
m.f(clm(1)) = m.cln(k) = cln(mk) = cln(n) d'où m divise n, ce qui est absurde car m et n sont premiers entre eux et .
Donc, f est le morphisme nul.
On a ainsi :
f : Z/mZ --> Z/nZ est un morphisme :
- si m et n sont premiers entre eux, alors f est le morphisme nul
- si m et n ne sont pas premiers entre eux, il existe des morphismes f non nuls, entièrement définis par f(clm(1))
Est-ce que c'est juste ?
Sinon, une question : comment se définiraient de tels morphismes si on choisissait de travailler dans des groupes (Z/kZ, .) multiplicatifs ?
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