Bonjour, Endevour

Il manque une hypothèse dans ton énoncé (f n'est pas la fonction nulle).

Comme f n'est pas la fonction nulle, il existe x dans R tel que f(x) soit non nul.

On pose y=0 dans l'égalité fonctionnelle, et on obtient
2f(x)=2f(x)f(0).
Comme f(x) est non nul, on en déduit que   f(0)=1

bonsoir
merci
elle doit être non constante (d'où différente de 0)
moi j'avais dis si f(0) alors x+y et x-y=0
donc x et y =0
ce qui fait f(0)+f(0)=2f(0)f(0)
je divise par f(0)
Et donc 1+1=2f(0)
donc f(0)=1

C'est correct ?ou ça vaut rien ?

Ce n'est pas correct parce qu'il y a une autre possibilité   f(0)=0 (dans ce cas, on ne peut pas diviser par f(0)).
Pour rendre le raisonnement correct, il faut démontrer que si f(0)=0, alors, f est la fonction nulle (prendre x quelconque et y=0 dans l'égalité fonctionnelle)

La seule donnée de l'énoncé c'est que f n'est pas une solution constante
Alors comment prouver qu'elle n'st pas nulle en un point ?

Salut !

Ben apparemment, tu as le choix entre f(x)=0 pour tout x et f(0)=1

Or, f n'est pas constante.
Donc

A moins que je n'ai rien compris !

Il faut être plus précis dans les questions que tu poses.
Je suppose que la question posée est la suivante:

Comment montrer qu'il existe x tel que f(x) est non nul (sachant que f n'est pas une fonction constante)

Réponse:
On sait que f n'est pas une fonction constante. En particulier, f n'est pas la fonction constante égale à 0. Donc, f n'est pas la fonction nulle. En particulier, il existe x dans R tel que f(x) est non nul.

Bonjour,
f(0) ne peut égaler 0, sinon on aurait f(x)+f(-x)=2f(o)f(x)=0 et f serait impaire.N'étant pas constante ,f prendrait des valeurs aussi bien positives que négatives.
Or notre équation fonctionnelle est équivalente à f(x)+f(y)=2f((x+y)/2) f((x-y)/2)qui donne pour y=0 f(x)=2f²(x/2) et f serait positive(d'où la contradiction)

Bonjour
merci a vous
non perroquet,mon énoncé n'en disait pas plus je lai énoncé au mot près
d'où mon problème. D'accord elle nestbpas constte mais rien n'empêche dapress l'énoncé qu'elle soit nulle en 0 par exemple

Extrait de mon deuxième post:

Merci bien

Après on me demande soit g(y)=f(x+y) + f(x-y)
Prouver que g est dérivable et en déduire que  que f'(0)=0


J'ai dis que g'(y) = f'(x+y) - f'(x-y)
J'en conclus qu'en particulier,
g'(0)= f'(x) - f'(x)
(ce qui apparamaent me sert strictement  à rien )

J'ai l'impression que mon raisonnement  est assez débile