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Formule de Vandermonde et binôme de Newton

Posté par
Charloware
21-09-08 à 09:43

Bonjour tout le monde ; j'ai une petite question concernant une démonstration de la formule de Vandermonde.

Si quelqu'un peut m'aider c'est gentil.

En utilisant la relation :   x , (1+x)^(n+p) = (1+x)^n (1+x)^p.
Démontrer la formule de Vandermonde : (k parmi (n+p)) = (pour i variant de 0 à k) (i parmi n) ((k-i) parmi p).

Merci.

Posté par
apaugam
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 09:47

il suffit de bien ecrire le coeff de x^k des deux cotés

avt d'utiliser des ecrit les choses in extenso avec des ... pour bien comprendre

Posté par
raymond Correcteur
Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 09:50

Bonjour.

Développe par la formule du binôme de Newton, puis identifie les coefficients des termes de même degré.

Posté par
raymond Correcteur
Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 09:50

Bonjour apaugam.

Posté par
apaugam
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 09:52

bonjour raymond et Charloware

Posté par
Charloware
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 09:53

Bonjour,

En développant je trouve (pour le premier membre) : (pour k variant de 0 à p+q) (k parmi (p+q)) x^k
Et pour l'autre membre j'ai une expression avec deux sigmas :  ( (pour k variant de 0 à p) (k parmi p) x^k)( (pour k variant de 0 à q) (k parmi q) x^k)...

Posté par
apaugam
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 09:56

il suffit de faire le produit des deux sommes
ecrit donc tes sommes avec des ... pour bien voir quels seront les termes de degré k ds le produit
degré 0 et k
degré 1 et k-1

etc

Posté par
Charloware
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 10:01

ça fait donc (((o parmi p)+(1 parmi p)+(2 parmi p)+...+(p parmi p))x^k)(((o parmi q)+(1 parmi q)+(2 parmi q)+...+(q parmi q)x^k)) ?

Posté par
Charloware
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 10:09

Euh non pardon...

( (o parmi p)x^o + (1 parmi p)x^1 + (2 parmi p)x^2 +...+ (p parmi p)x^p ) ( (o parmi q)x^0 + (1 parmi q)x^1 + (2 parmi q)x^2 +...+ (q parmi q)x^q )

Posté par
raymond Correcteur
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 10:12

Tu as la distributivité classique :

3$\textrm\Big(\Bigsum_{i=0}^nC_n^ix^i\Big)\times\Big(\Bigsum_{j=0}^pC_p^jxj\Big) = \Bigsum_{i=0}^n\Bigsum_{j=0}^pC_n^iC_p^jx^{i+j}

Identifie cette expression à

3$\textrm\Bigsum_{k=0}^{n+p}C_{n+p}^kx^k

Pour cela, tu supposeras que i+j = k

Posté par
apaugam
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 10:17

NON
(((o parmi p)+(1 parmi p)x+(2 parmi p)x^2+...+(p parmi p))x^P
(((o parmi q)+(1 parmi q)x+(2 parmi q)x^2+...+(q parmi q)x^q))

Donc le coeff de x^k
(((o parmi p)(k parmi q)+(1 parmi p)(k-1 parmi q)+.....
coefde x^0 x coefde x^k+...............

Posté par
Charloware
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 10:25

Je ne comprends pas comment les deux sigmas se transforment en un seul, ni comment (i parmi n)(j parmi p) = ((i+j) parmi (n+p)) =/

Posté par
apaugam
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 10:36

comment les deux sigmas se transforment en un seul

comme ici !
(1+x+X^7)(3+5x¨3)=3+3X+5x^3+5x^4 +3x^7+5x^{10¡

Posté par
apaugam
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 10:37

avec peut etre quelques faute de frappe

Posté par
raymond Correcteur
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 10:37

Coefficient du terme en xk dans (1+x)n+p = coefficient du terme en xk dans (1+x)n(1+x)p

Cela donne :

3$\textrm C_{n+p}^k = \Bigsum_{i+j=k}C_{n}^iC_{p}^j

Il te suffit enfin de dire que j = k-i.

Posté par
apaugam
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 10:42

en fait j'ai le sentiment que tu ne comprends pas bien le sens du  

c'est pour cela que je te suggere d'expliciter une somme avec des + et des .... pour comprendre.

Posté par
Charloware
re : Formule de Vandermonde et binôme de Newton 21-09-08 à 10:44

Merci à vous deux ; y'avait deux-trois passages où je n'avais pas bien compris ce que vous m'aviez demandé de faire mais c'est bon maintenant !

Merci encore et bonne journée



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