Bonjour tout le monde ; j'ai une petite question concernant une démonstration de la formule de Vandermonde.
Si quelqu'un peut m'aider c'est gentil.
En utilisant la relation : x , (1+x)^(n+p) = (1+x)^n (1+x)^p.
Démontrer la formule de Vandermonde : (k parmi (n+p)) = (pour i variant de 0 à k) (i parmi n) ((k-i) parmi p).
Merci.
il suffit de bien ecrire le coeff de x^k des deux cotés
avt d'utiliser des ecrit les choses in extenso avec des ... pour bien comprendre
Bonjour.
Développe par la formule du binôme de Newton, puis identifie les coefficients des termes de même degré.
Bonjour,
En développant je trouve (pour le premier membre) : (pour k variant de 0 à p+q) (k parmi (p+q)) x^k
Et pour l'autre membre j'ai une expression avec deux sigmas : ( (pour k variant de 0 à p) (k parmi p) x^k)( (pour k variant de 0 à q) (k parmi q) x^k)...
il suffit de faire le produit des deux sommes
ecrit donc tes sommes avec des ... pour bien voir quels seront les termes de degré k ds le produit
degré 0 et k
degré 1 et k-1
etc
ça fait donc (((o parmi p)+(1 parmi p)+(2 parmi p)+...+(p parmi p))x^k)(((o parmi q)+(1 parmi q)+(2 parmi q)+...+(q parmi q)x^k)) ?
Euh non pardon...
( (o parmi p)x^o + (1 parmi p)x^1 + (2 parmi p)x^2 +...+ (p parmi p)x^p ) ( (o parmi q)x^0 + (1 parmi q)x^1 + (2 parmi q)x^2 +...+ (q parmi q)x^q )
Tu as la distributivité classique :
Identifie cette expression à
Pour cela, tu supposeras que i+j = k
NON
(((o parmi p)+(1 parmi p)x+(2 parmi p)x^2+...+(p parmi p))x^P
(((o parmi q)+(1 parmi q)x+(2 parmi q)x^2+...+(q parmi q)x^q))
Donc le coeff de x^k
(((o parmi p)(k parmi q)+(1 parmi p)(k-1 parmi q)+.....
coefde x^0 x coefde x^k+...............
Je ne comprends pas comment les deux sigmas se transforment en un seul, ni comment (i parmi n)(j parmi p) = ((i+j) parmi (n+p)) =/
Coefficient du terme en xk dans (1+x)n+p = coefficient du terme en xk dans (1+x)n(1+x)p
Cela donne :
Il te suffit enfin de dire que j = k-i.
en fait j'ai le sentiment que tu ne comprends pas bien le sens du
c'est pour cela que je te suggere d'expliciter une somme avec des + et des .... pour comprendre.
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