Niveau Maths sup

Série et suite de polynômes

Posté par
Luto 21-09-08 à 12:55

Bonjour,
j'ai un exercice qui me bloque depuis maintenant quelques jours et dont voici l'énoncé :

** lien vers l'énoncé effacé **

Je ne comprend pas comment mener la démonstration dans la première question ...
J'ai pu cependant trouver des valeurs de r, et résoudre la question 1)b) de la partie A.
Dans la partie B, j'ai pu résoudre la 1)a) et la 2)a), et j'ai un doute sur la 1)b).

Voici les résultats que j'ai trouvés :

1)a) :
r1 = -1/2
r2 = 1/12
r3 = 0
r4 = -1/720 (résultat qui me semble légèrement douteux ...)

1)b) les démonstrations sont faites, et j'ai les polynômes suivants :
P1 = x - 1/2
P2 = x²/2 - x/2 + 1/12
P3 = (x^3)/6 - x²/4 + x/12
P4 = (x^4)/24 - (x^3)/12 + x²/24 - 1/720 (qui doit être douteux également, en toute logique)

Partie B :
1)a) : fk (1-x) = -fk(x)
1)b) : je dirais que la fonction tend vers +oo en 0 et -oo en 1 (par symétrie par rapport à la première limite), mais j'ai un doute quant à la démonstration ...

2)a) : 1/(2?n)²

Voilà, merci d'avance pour votre aide ...

Edit Coll : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum [lien]

Posté par re : Série et suite de polynômes 21-09-08 à 14:48

Ah, désolé, pour l'énoncé ... je le poste :
Attention, c'est un gros exercice ...

On donne les séries suivantes :
$\displaystyle S_{2k}(n) = \sum_{p=1}^{n}\frac{1}{p^{2k}$
$\displaystyle S_{2k}(n) = \sum_{p=n+1}^{+\infty}\frac{1}{p^{2k}$
$\displaystyle S_{2k}(n) = \sum_{p=1}^{+infty}\frac{1}{p^{2k}$

Partie A) Etude d'une suite de polynômes

On se propose d'étudier les suites (Q_n) de polynômes vérifiant trois propriétés :
(1) : $Q_0 = 1$
(2) : $Q'_n = Q_{n-1}$ pour tout n supérieur à 1
(3) : $Q_n(1) = Q_n(0)$ pour tout n supérieur à 2

1)a) Etablir qu'il existe une suite de fractions rationnelles (r_n) et une seule telle que :
r_0 = 1 et quel que soit n≥2 : $\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1}\frac{r_j}{(n-j)! = 0$
Expliciter $r_1, r_2, r_3 et r_4$ sous la forme de fractions irréductibles.

On considère désormais la suite de polynômes définie par :
$\displaystyle P_n(x) = \sum_{j=0}^{n}\frac{r_j}{(n-j)!}x^{n-j}$

b) Montrer que la suite $(P_n)$ vérifie les propriétés (1), (2) et (3).

2) On considère une suite $(Q_n)$ de polynômes vérifiant les propriétés (1), (2), et (3).
a) Prouver que, pour tout entier naturel n :
$\displaystyle Q_n(x) = \sum_{j=0}^{n}\frac{Q_j(0)}{(n-j)!}x^{n-j}$

b) Montrer que la suite $(Q_n(0))$ vérifie :
Q_n(0) = 1 et pour tout n≥2 : $\displaystyle \sum_{j=0}^{n-1}\frac{Q_j(0)}{(n-j)!} = 0$

c) En déduire que pour tout entier naturel n : $Q_n = P_n$

3)a) En considérant la suite de polynômes définie par $T_n(x) = (-1)^nP_n(1-x)$
établir que, pour tout entier naturel n : $P_n(x) = (-1)^nP_n(1-x)$

b) En déduire que pour tout entier naturel non nul k : $r_{2k-1} = 0$
Calculer $r_6 et r_8$ (on pourra vérifier que r_8 = -1/1209600)

Partie B) Expression de $S_{2k}$

1) Pour tout nombre entier naturel k≥2 on considère la fonction f_k définie sur l'intervalle ]0;1[ par :
$f_k(x) = (P_{2k}(x) - r_{2k})cotan(πx)$

a) Comparer $_k(x) et f_k(1-x)$

b) Déterminer les limites de $f_k$ aux bornes de son intervalle de définition.
On prolonge désormais f_k par continuité sur [0;1]

c) Prouver que $f_k$ est de classe $C^1$ sur [0;1]
Indication : On utilisera les développements des polynômes $P_{2k} et P_{2k-1}$ ainsi que le développement limité $sin(2πx) = 2πx + o(x^2)$ lorsque x tend vers 0.
$o(x^2) = x^2E(x)$ où E(x) est une fonction qui tend vers 0 quand x tend vers 0.
On trouvera : $f'_k(x) = \frac{1}{sin^2(x)}(\frac{1}{2}r_{2k-2} \pi x^2 + o(x^2))$ et l'on déterminera la limite $l_1 = f'_k(0)$ de cette expression lorsque x tend vers 0.

2) Pour tout entier naturel non nul p, on considère les deux intégrales :
$\displaystyle J_p(k) =\int_{0}^{1} P_{2k}cos(2 \pi px)dx$
$\displaystyle I_p(k) =\int_{0}^{1} (P_{2k}(x) - r_{2k})cos(2 \pi px)dx$

a) Calculer $J_p(1)$ .
b) Exprimer $J_p(k+1)$ en fonction de $J_p(k)$ . En déduire $J_p(k)$ puis $I_p(k)$ .

3)a) En calculant de deux façons la somme $I_1(k) + I_2(k) + ... + I_n(k)$ , puis en faisant tendre n vers $+\infty$ , exprimer $S_{2k}$ en fonction de $J_p(k)$ .

b) Retrouver ainsi l'expression de $S_2$ . Calculer $S_4, S_6 et S_8$ .

Posté par re : Série et suite de polynômes 21-09-08 à 18:34

Euh ... j'espère que tout cela n'est pas trop décourageant ...

Posté par re : Série et suite de polynômes 21-09-08 à 18:38

Salut

Hmmm ok, tu peux redéfinir tes séries de départ ? Car ce sont les mêmes, mais égales à trois choses différentes !

Posté par re : Série et suite de polynômes 21-09-08 à 18:59

Oups, désolé ...
Au temps pour moi, on a :
$\displaystyle S_{2k}(n) = \sum_{p=1}^n \frac{1}{p^{2k}} \\ \\ \displaystyle R_{2k}(n) = \sum_{p=n+1}^{+\infty} \frac{1}{p^{2k}} \\ \\ \displaystyle S_{2k} = \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{p^{2k}} = S_{2k}(n) + R_{2k}(n)$
Voià ...

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