Salut Salut, Messieurs et Mesdames !
Un petit devoir maison pour ce week end qui s'annonce fort attrayant...
Nous devons montrer que pour tout n appartenant a N* : n^n >= n! >= 2^(n-1)
La seconde inequation est évidente par réccurence, mais pour la première, la chose est plus corsée. Passons l'initialisation et la rédaction, je vous en fait grâce.
Donc on a Pn "n^n >= n!"
On suppose Pn vrai jusqu'a un certain rang n fixé.
Montrons que Pn+1 est vraie.
n^n >= n!
Pour trouver le (n+1)! il suffit de multiplier par n+1, donc je suis partie sur cette basse
n^n (n+1) >= (n+1)!
n^(n+1) + n^n >= (n+1)!
n^(2n+1) >= (n+1)!
Mais la, je ne sais pas quoi faire. Dois je plutot chercher a prouver que (n+1)^(n+1) > n^(2n+1) ce dont je ne suis pas persuadé, ou plutot dois je changer de "base".
Encore une petite question : j'aimerai savoir comment trouver (n+1)^n+1 en partant de n^n.
Merci,
Avec toute mon affection
Destin
tu es obligée de faire une récurrence ?
parce que sinon en prenant le ln tu montres que:
n*ln(n) >= ln(1)+ln(2)...+ln(n)
donc ln(n^n) >= ln(n!)
par croissance du ln n^n > n!
Attention dans le titre : Ardu et pas Hardu , ou alors c'est un néologisme basé sur la racine hard et là euh ...c'est censuré lol .
Bonjour
Le passage par les log et la concavité n'est il pas excessif?
n n
n n-1
n n-2
.........................
n 2
n 1
n termes de chaque coté. on effectue les produits:
nn n!
Non?
Bien sûr jean c'est comme pour la minoration n >= 2, n-1 >=2 ....
Bon alors les gens vont dire que c'est une récurrence déguisée .
bonsoir
la 1ere inégalité est immédiate (pas de récurrence)
n^n=n*n*.......*n1*2*......*n (chauqe facteur du second produit est au plus égal à n
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