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Une petite réccurence hardu. n^n > n!

Posté par
Destin
25-09-08 à 19:43

Salut Salut, Messieurs et Mesdames !

Un petit devoir maison pour ce week end qui s'annonce fort attrayant...

Nous devons montrer que pour tout n appartenant a N* : n^n >= n! >= 2^(n-1)

La seconde inequation est évidente par réccurence, mais pour la première, la chose est plus corsée. Passons l'initialisation et la rédaction, je vous en fait grâce.

Donc on a Pn "n^n >= n!"
On suppose Pn vrai jusqu'a un certain rang n fixé.
Montrons que Pn+1 est vraie.

n^n >= n!

Pour trouver le (n+1)! il suffit de multiplier par n+1, donc je suis partie sur cette basse

n^n (n+1) >= (n+1)!
n^(n+1) + n^n >= (n+1)!
n^(2n+1) >= (n+1)!

Mais la, je ne sais pas quoi faire. Dois je plutot chercher a prouver que (n+1)^(n+1) >  n^(2n+1) ce dont je ne suis pas persuadé, ou plutot dois je changer de "base".

Encore une petite question : j'aimerai savoir comment trouver (n+1)^n+1 en partant de n^n.

Merci,
Avec toute mon affection
Destin

Posté par
yoyodada
re : Une petite réccurence hardu. n^n > n! 25-09-08 à 19:55

tu es obligée de faire une récurrence ?
parce que sinon en prenant le ln tu montres que:
n*ln(n) >= ln(1)+ln(2)...+ln(n)        
donc ln(n^n) >= ln(n!)
par croissance du ln n^n > n!

Posté par
Destin
re : Une petite réccurence hardu. n^n > n! 25-09-08 à 20:40

Hum, oui pourquoi pas. J'ai peut être cherché la difficulté... Mon côté maso
Merci ^^

Posté par
lolo217
re : Une petite réccurence hardu. n^n > n! 26-09-08 à 12:02

Attention dans le titre  :  Ardu et pas Hardu , ou alors c'est un néologisme basé sur la racine hard et là euh ...c'est censuré  lol .

Posté par
jeanseb
re : Une petite réccurence hardu. n^n > n! 26-09-08 à 12:28

Bonjour

Le passage par les log et la concavité n'est il pas excessif?

n n
n n-1
n n-2
.........................
n 2
n 1

n termes de chaque coté. on effectue les produits:

nn n!

Non?

Posté par
lolo217
re : Une petite réccurence hardu. n^n > n! 26-09-08 à 14:11

Bien sûr jean c'est comme pour la minoration  n >= 2, n-1 >=2 ....

Bon alors les gens vont dire que c'est une récurrence déguisée .

Posté par
jeanseb
re : Une petite réccurence hardu. n^n > n! 26-09-08 à 18:28

Posté par
niparg
re : Une petite réccurence hardu. n^n > n! 26-09-08 à 20:11

bonsoir
la 1ere inégalité est immédiate (pas de récurrence)
n^n=n*n*.......*n1*2*......*n (chauqe facteur du second produit est au plus égal à n

Posté par
scrogneugneu
re : Une petite réccurence hardu. n^n > n! 27-09-08 à 19:18

Salut !

ln(n!)=\Bigsum_{k=1}^n ln(k) \le \Bigsum_{k=1}^n ln(n)=nln(n)



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