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Niveau Maths sup
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suite bornée

Posté par
mloik
26-09-08 à 23:16

Hello,

Je dois démontrer :
Montrer qu'une suite bornée qui a une unique valeur d'adhérence est convergente.

Je suis partie de tout, les définitions, les sous suites,... j'y suis depuis un certain temps et ça ve pas venir vous pouvez m'aider???

Posté par
Ju007
re : suite bornée 26-09-08 à 23:34

Bonjour,

est-ce que tu connais la caractérisation des compacts par Borel-Lebesgue ?

Si tu ne connais pas, c'est un peu plus pénible. Bon tu te places dans R, j'imagine.

En gros, tu appelles a ta valeur d'adhérence de ta suite bornée (U_n). Pour tout epsilon > 0, R\]a-epsilon,a+epsilon[ admet un nombre fini d'éléments de la suite. En effet, s'ils étaient infinis, ce qui revient à dire qu'on peut extraire une sous-suite convergente de (U_n) dont les éléments sont dans \mathbb{R} \ ]a-\epsilon,a+\epsilon[.

Or si (Un) est bornée en valeur absolue par M, ta sous-suite sera à valeurs dans [-M,a-epsilon] U [a+epsilon,M] qui est un compact.

Donc re-belote, par compacité, tu extrais une sous-suite de ta sous-suite qui converge vers une autre valeur que a, ce qui veut dire que ta suite (U_n) admettra une valeur d'adhérence autre que a. Contradiction.

Donc à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite (U_n) sont dans ]a-epsilon,a+epsilon[, ce qui veut dire que (U_n) converge vers a.

Posté par
mloik
re : suite bornée 26-09-08 à 23:41

ha non je n'ai absolument pas vu les notions de compact dans cette matière...
Tu peux m'expliquer sans la compacité stp ???

Posté par
Ju007
re : suite bornée 26-09-08 à 23:46

En fait la preuve que je t'ai faite n'utilise que la propriété de Bolzano-Weierstrass. (toute suite bornée dans R admet une valeur d'adhérence, i.e. admet une sous-suite convergente)

Si tu ne connais pas ça, ça me semble assez compliqué.

Posté par
mloik
re : suite bornée 26-09-08 à 23:51

d'accord la propriété de Bolzano-Weierstrasse par contre je la connais... je vais relire ca demin a tete reposée apres une bonne nuit de sommeil et je te tiens au courant demain pour un eventuel problème ou non...
javais tout posé comme toi en fait mais je n'arrivais pas à faire un lien entre tout ...et en fait je pense que j'ai compris

Merci de ton aide et merci d'avance pour celle de demain si ya besoin

Posté par
Ju007
re : suite bornée 26-09-08 à 23:57

Moi aussi je vais aller au dodo.

J'ai du mal à m'exprimer. Par exemple, au lieu de

Citation :
En effet, s'ils étaient infinis

lire :
Citation :
En effet, imaginons qu'ils soient infinis



Bonne nuit.

Posté par
mloik
re : suite bornée 27-09-08 à 14:42

En fait je prends a valeur d'adhérence de ma suite Un. quelque soit >0  l'intervalle ]a-;a+[ contient un nombre infini de terme de Un. Donc l'intervalle G = \ ]a-;a+[ contient un nombre fini de terme.
En effet, si le nombre d'éléments de Un dans G etait infini  on pourrait extraire une sous suite convergente de Un dont les éléments seraient dans G soit Vn la sous suite que l'on a extraite. Un etant bornée par M alors Vn la sous suite extraite l'est également donc les éléments de Vn sont dans l'ensemble : ]-M;a-[]a+;M[
Comme Vn est borne je peux extraire une autre sous suite de Vn convergente. Donc cette nouvelle sous suite va converge va b (par exemple) donc b est valeur d'adhérence de Un or a l'était déjà et d'après l'hypothèse  Un n'a qu'une valeur d'adhérence donc
G ne peut pas contenir un nombre infini d'éléments de Un  d'où G admet seulement un nombre fini d'élements de Un donc à partir d'un certain rang tous les éléments de la suite sont dans l'intervalle ]a-;a+[ donc il existe N tel que quelque soit n >= N  a-<Un<a+ donc |Un - a|<. Donc la suite Un est convergente et converge même vers sa valeur d'adhérence.

C'est bien ca est ce que j'ai bien compris ???

Posté par
Ju007
re : suite bornée 27-09-08 à 15:01

Ca a l'air

Au lieu de  ]-M;a-[]a+;M[ prend les intervalles fermés : [-M;a-][a+;M] (c'est plus juste, et en plus c'est un compact)

Posté par
adrien2465
re : suite bornée 27-09-08 à 15:06

daccor je vais ca alors ^^
et je me demandais la premiere sous suite Vn que j'ai extraite elle es bien convergente vers a cest ca ? pcq a est valeur d'adherence de Un et que Vn est une sous suite de Un ?

Posté par
Ju007
re : suite bornée 27-09-08 à 15:12

Non ta suite Vn ne converge pas vers a puisqu'elle n'est pas à valeurs dans ]a-,a+[. Vn est forcément finie, puisque sinon elle aurait une valeur d'adhérence autre que a.

Autre chose :

Citation :
quelque soit >0  l'intervalle ]a-;a+[ contient un nombre infini de terme de Un. Donc l'intervalle G = \ ]a-;a+[ contient un nombre fini de terme

Euh non ce n'est pas à cause de ça. ... ce n'est pas parce que c'est infini d'un côté, que c'est fini de l'autre. Tu comprends ?

Posté par
adrien2465
re : suite bornée 27-09-08 à 15:25

nan la je dois t'avouer que ce pasage etait assez flou dans ma tete tu veux bien me reexpliquer stp ...

Posté par
Ju007
re : suite bornée 27-09-08 à 15:44

En fait tu montres que l'ensemble des termes de la suite se trouvant à une distance plus grande que de a est fini. (parce que sinon on pourrait extraire une sous-suite blablabli blablabla...)

Et comme cet ensemble est fini, il existe un certain entier N tel que tous les termes à partir de ce rang N se trouvent à une distance inférieure que par rapport à a (tu comprends ça ou pas ?) et que donc par définition de la limite, (Un) converge vers a.

C'est uniquement pour cette raison.

Toi tu disais que si une suite admettait un nombre infini de termes dans un ensemble A, alors cette suite admettrait seulement un nombre fini de termes dans son complémentaire AC. Ce qui est faux.

Prends pour exemple Un = (-1)n. Les rangs pairs, (Un) est positif (nombre infini), les rangs impairs (Un) est négatif (nombre infini aussi).

Posté par
adrien2465
re : suite bornée 27-09-08 à 15:49

daccor en fait j'avais bien compri mais je m'exprimais mal lol ...
Comme en dehors de l'ensemble le nombre de termes est fini alors du coup a partir de N tous les Un sont ds mon intervalle donc ca converge ...
Mais si je n'avais pas montre que le nombre a lexterieur etait fini en parlant des sous suites e tt ca alors j'aurais tres bien pu avoir un nombre infini de terme autant dedan que dehors cest pas parce que c'est infini dedans que c'est fini dehors cest ca ??

Posté par
Ju007
re : suite bornée 27-09-08 à 16:24

Oui c'est ça, c'est que je te disais.

Euuh tu as deux comptes ?

Posté par
adrien2465
re : suite bornée 27-09-08 à 16:33

daccor maintenant je comprends mieux alors !! merci beaucoup si j'ai deux comptes ? En fait c'est mon vieux compte que je viens de retrouver ... lol j'avais creer un nouveau en attendants mais je l'ai retrouvé maintenant je vais le supprimer je pense...!
Merci beaucoup!!

Posté par
Ju007
re : suite bornée 27-09-08 à 17:29

De rien. Ravi que tu aies compris.



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