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Norme p et Norme infini

   
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#msg2021182 Posté le 26-09-08 à 23:20
Posté par Profilromsmad romsmad

Bonjour, qq'un aurait t'il une idée comment montrer que

( (Xi)p)1/p i variant de 1 à n tend vers Sup | Xi |  sur [| 1, n |] quand p tend vers +

j'ai deja reussi a majorer la somme par un truc qui tend vers le Sup, mais le probleme j'arrive pas a le minorer de meme, qq'un aurait t'il une idée?
re : Norme p et Norme infini#msg2021206 Posté le 26-09-08 à 23:42
Posté par ProfilJu007 Ju007

Bonjour,

Mmm il me semble qu'il faut d'abord considérer le i0 tel |Xi0| = sup |Xi|. Puis on fixe epsilon > 0.
Et tu minores brutalement
\sum (X_i)^p \geq (X_{i0} - \epsilon)^p = (sup |Xi| - \epsilon)^p.

Pour info, en dimension infinie, tu dois t'intéresses au cas fini et que tu utilises ensuite le lemme de Fatou. (mais j'imagine que tu ne l'as pas vu)
re : Norme p et Norme infini#msg2021210 Posté le 26-09-08 à 23:46
Posté par Profilromsmad romsmad

je vois pas trop comment tu fais ta minoration
re : Norme p et Norme infini#msg2021211 Posté le 26-09-08 à 23:48
Posté par Profilscrogneugneu scrogneugneu

Salut !

Il faut considérer un indice j tel que |x_j|=max_{1\le i\le n}|x_i|=||x||_{\infty}

Alors |x_j|^p \le \Bigsum_{1\le i\le n}|x_i|^p \le n|x_j|^p

Reste à passer à la puissance 1/p
re : Norme p et Norme infini#msg2021213 Posté le 26-09-08 à 23:49
Posté par Profilromsmad romsmad

oui ça c'est bon je vous ai dis que g reussi a majorer la somme, mais il faut la minorer egalement
re : Norme p et Norme infini#msg2021217 Posté le 26-09-08 à 23:51
Posté par Profilscrogneugneu scrogneugneu

En passant à la puissance 1/p, on a : ||x||_{\infty} \le ||x||_p \le n^{1/p}||x||_{\infty}
re : Norme p et Norme infini#msg2021222 Posté le 26-09-08 à 23:52
Posté par Profilromsmad romsmad

ah oui c vrai je suis bete merci beaucoup
re : Norme p et Norme infini#msg2021223 Posté le 26-09-08 à 23:53
Posté par ProfilJu007 Ju007

Bah tes Xi sont forcément positifs OK ? (sinon on peut pas mettre à l'exposant p)

Donc pour i différent de i0 tu minores par 0.

En fait je dis n'importe quoi, tu n'as pas besoin des epsilons.

Bref pour i différent de i0, Xi > 0.

Donc \sum(X_i)^p \geq 0 + 0 + .. + 0 + (X_{i0})^p + 0 + .. = (X_{i0})^p = (sup(X_i) )^p .

C'est mieux ? (excuse-moi d'avoir compliqué pour rien)
re : Norme p et Norme infini#msg2021225 Posté le 26-09-08 à 23:53
Posté par ProfilJu007 Ju007

Trop tard
re : Norme p et Norme infini#msg2130130 Posté le 14-11-08 à 15:07
Posté par ProfilYota Yota

Est-ce que quelqu'un aurait le même genre de démonstration mais pour les espaces de fonctions (c'est a dire que la norme p tend vers la norme infini ?)

Merci
re : Norme p et Norme infini#msg2130165 Posté le 14-11-08 à 15:26
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Salut

Soit 3$\rm i\in \{1,...,n\} tel que 3$\rm Max_{1\le j\le n} a_{j}=a_{i}

On a :
3$\rm ||(a_{1},...,a_{n})||_{p}=a_{i}||\(\frac{a_{1}}{a_{i}},....,\frac{a_{n}}{a_{i}}\)||_{p}

Conclus en passant par la définition de la norme p

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