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famille libre
bonjour je me pose une question que j'ai un peu de mal a repondre $
est ce que si une famille est libre implique necessairement qu'elle soit generatrice
en fait je veux calculer le rg de (x1,x2,x3,x4) xi sont des veteur a 4 composantes d'apres le cours le rg d'une famille c'est la dim du sev engendré par cette famille
rg(x1,......xn)=dim[(vect(x1.....,xn)]
dans le cas de l'exercice je considere X=(x,y,z,t) € R^4 et a,b,c,d € K
je veux montrer que X=aixi cad xi engendre bien R^4
mais en reflechissant bien je me dit que comme R^4 est un R_ev donc 0€ R^4
donc si je prend X=(0,0,0,0) donc ca serait plus simple de calculer le rg apres non ?
Bonjour !
Pour répondre juste à ce que tu as dis au début : NON la libérté d'une famille n'implique en rien qu'elle est génératrice ce sont 2 notions différentes !
sinon toute famille libre serait une base ! ce qui est faux !
bon courage !
Bonjour,
une famille libre n'est en général pas génératrice, si jamais c'est le cas, c'est une base.
Ensuite, il faut prendre quelconque pour montrer que tes
forment une famille génératrice de
.
Si tu prends juste le vecteur nul, tu auras juste montré que le vecteur nul peut s'écrire comme combinaison linéaire de ta famille des , mais tu n'auras pas montré que c'est le cas pour les autres vecteurs de
.
oui c'est vrai mais si je veux calculer le rg de ma famille
x1=(1,1,0,1) x4=0,-2,1,-1)
x2=(1,-1,1,0) x3=(2,0,1,1)
la definition me dit que rg(x1...xn)=dim[vect(x1...xn)] ici mes x1...xn vaut (x1,x2,x3,x4)
si je traduit cette definition de cette maniere est ce c'est bon
rg d'une famille est le card du plus petit nombre de vecteur independant je vous rappel que je veux calculer le rg d'une famille
ben j'ai x1 et x2 libre
x3 et x4 sont combinaison lineaire de x1 et x2 donc rg (x1,x2,x3,x4)card(x1,x2)==2
je sais que dim R^4=4
(x1,x2)=B libre et card(B) different de 4
d'apres theoreme base implete je peux completer cette famille en une base de R^4 puisque B libre si je choisi (e1,x1,x2,e4) ça convient ? et est ce ça fait une difference si j'ecris (x1,x2,e1,e4)?
ben j'ai x1 et x2 libre
x3 et x4 sont combinaison lineaire de x1 et x2 donc rg (x1,x2,x3,x4)card(x1,x2)==2
je sais que dim R^4=4
(x1,x2)=B libre et card(B) different de 4
ok jusqu'ici.
d'apres theoreme base incomplète je peux completer cette famille en une base de R^4 puisque B libre si je choisi (e1,x1,x2,e4) ça convient ?
oui mais il faut pas la compléter n'importe comment. On peut la compléter avec des vecteurs de la base canonique, mais il faut y aller progressivement, comme ça tu verras toi même si ça convient ou pas.
Tu as d'abord ta famille
1) tu la complètes en prenant
et tu vérifies si
2) Si c'est pas le cas tu vires
si c'est le cas, tu refais 1) mais cette fois avec
Tu continues le processus jusqu'à ce que tu aies quatre vecteurs.
et est ce ça fait une difference si j'ecris (x1,x2,e1,e4)?
Oui et non, ça fait une différence seulement si tu exprimes des coordonnées de vecteurs par rapport à cette base.
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