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Niveau Licence Maths 1e ann
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Polynômes cyclotomiques et corps finis.

Posté par
1 Schumi 1
27-09-08 à 22:39

Bonsoir à tous,

Un énoncé d'exercice qui me trouble un peu... Je vous le soumets donc:

Citation :

On s'intéresse dans cet exercice à la factorisation des polynômes cyclotomiques sur un corps fini \rm F_q de cardinal q. Soit p sa caractéristique; on note \rm\Omega une clôture algébrique de \rm F_q.

a) Si n est un entier premier avec p et r un entier positif non nul, montrer que \rm\Phi_{p^rn}=\Phi_n^{p^r-1}.


Je vous fait grâce du reste qui me semble acceptable.

N'aurait-on pas un problème de degré car pour moi ces deux polynômes sont unitaires et de degré distincts dans Z (et donc a fortiori dans \rm F_q). Le premier par exemple est de degré \rm\phi(p^rn)=\phi(p^r)\phi(n)=p^r(1-1/p)\phi(n)\neq(p^r-1)\phi(n)...

Je raconte n'importe quoi? Si tel n'est pas le cas, une idée de la "vraie" formule?

Merci d'avance.


Ayoub.

J'avoue n'avoir pas tenté de vérification à la main vu que j'ai plus Maple (quel crétin, j'ai oublié de l'amener!) donc si quelqu'un pouvait juste vérifier sur un 'ti exemple que c'est effectivement faux, ça serait sympa.

Posté par
frenicle
re : Polynômes cyclotomiques et corps finis. 27-09-08 à 23:22

Oui c'est faux
Il faut remplacer dans le deuxième membre
\Phi_n^{p^r-1} par
\Phi_n^{p^r(1-1/p)}

Bon courage



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