pour une demonstration niveau college

Posté par segment segment

bonjour cest pour demontrer que si x puissance 2 est paire alors x est paire ( x est un entier naturel)et

Posté par totti1000 totti1000

Bonjour segment,
on veut montrer x² pair x pair.
On peut le montrer par la contraposée :
x non pair x² non pair.
Ou encore x impair x² impair.

Supposons x impair, alors x=2k+1 avec k, on a donc x²=(2k+1)²=4k²+1+4k=2(2k²+2k)+1 alors x² impair...

Posté par segment segment

merci totti1000
je me demande sil nya pas une demonstration sans la contraposee
en fait x paire alors x puissance 2 est paire cest claire pour eux mais lautre sens ?
(est ce que on peut pas utiliser le fait que x est un entier naturel donc x puissance 2est un carre parfait) ? merci

Posté par Djinn Djinn

Avec la décomposition en facteurs premiers d'un entier.

On suppose x non-nul, cas trivial.
Si x² est pair alors il existe un entier non-nul n tel que x² = 2n.

x étant un entier, il se décompose en produit de facteurs premiers sous la forme :

x = p_1¹p_2²...p_k^k

où les p_i sont des nombres premiers.

En élevant x au carré on obtient :

x² = (p_1¹p_2²...p_k^k)²

= p₁^2₁p₂^2₂...p_k^2_k

Comme 2 apparait dans le produit x² = 2n, il existe un entier i tel que p_i = 2 et ainsi x est pair.

Rédaction moyennement rigoureuse.

Posté par segment segment

merci djinn pour la demonstration mais pour les eleves du college impossible de comprendre

Posté par segment segment

pour x entier x puissance 2 paire secrit sous la forme 4 fois n puissance 2 pour tout n dans N
x fois x egale a 2n fois 2n
x egale a 2n
x est paire

Posté par minkus minkus

Salut,

En college tu peux aussi le faire en etudiant le dernier chiffre des entiers et le dernier chiffre de leur carré. C'est ce qu'on peut utiliser en 3e pour demontrer l'irrationnalité de racine de 2.

Posté par apaugam apaugam

c'est une tres mauvaise idee que d'insister sur la contraposée au college car ce raisonnement " est strictement incomprehensible" par un collegien. Les etudiants de capes ou d'agreg ont encore des difficultés frequentes avec.
il vaut mieux rediger avec un raisonnement par l'absurde

pour plus d'idée sur le sujet il y a sur le site de l'irem de rennes nombreux documents dont une brochure justement sur la demonstration au college

Posté par Rodrigo Rodrigo

Faut pas rigoler non plus, l'absurde et la contraposée c'est pareil...Je pense qu'un collegien, est capable de comprendre que si x pair alors x² pair et x impair implique x² impair alors x et x² ont meme parité...

Posté par segment segment

salut rodrigo
je suis tout a fait daccord
le probleme cest lautre sens cest a dire x au carre paire implique x paire

Posté par Rodrigo Rodrigo

Ben oui c'est bien ce que je dis si x impair x² impair, donc si x² est pair c'est que x ne pouvait qu'etre pair, car sinon x serait impair et donc x² aussi... Franchement les gamins du collège ne sont pas betes...

Posté par apaugam apaugam

l'absurde et la contraposée c'est pareil.

Pas du tout d'accord
cela ne donne pas le meme texte et je parle d'experience sur les etudiants de capes ou d'agreg qui se perdent parfois avec la contraposée (démontrer deux fois la meme implication) jamais avec un raisonnement par l'absurde
j'ai egalement realisé des eperiences en 4eme avec des eleves et leur prof sur ce sujet

les recherches des irem sont tres utiles pour beneficier de l'experience des collegues et trouver des activités adaptées aux eleves

Posté par segment segment

puis pour demontrer lirrationnalites de racine de 2 il faut utiliser(au college) la demonstration par labsurde

Posté par apaugam apaugam


c'est d'ailleurs un raisonnement par l'absurde

Posté par Rodrigo Rodrigo

Pour la contraposée et l'absurde je suis d'accord que logiquement ca n'est aps tout a fait la meme chose, mais justement au niveau de la redaction la différence est subtile...
Entre supposons A et non B et arrivons a une contradiction et supposons non B arrivons a non A, tout commence dans la redaction par Supposons non B, en general on peut conclure de manière equivalente par non A ou par si l'on avait A contradiction...
Pour le cas qui nous interesse...
Supposons x² pair et x impair comme x est impair, x² l'est aussi, contradiction.
Et supposons x² pair, alors si x etait impair x² le serait aussi donc x est pair.
La difference est tenue...Vous allez me dire en fait c'est un raisonnement par l'absurde dans les deux cas...Je suis assez d'accord sauf que le deuxieme se presente plus comme une contraposée et est a mon sens plus a meme d'etre comprehensible par des eleves

Posté par apaugam apaugam

la contraposée c'est
suposons x impair  alors x² impair car ....


donc si x² est pair alors x est pair


on ne suppose pas x² pair qd on raisonne par contraposée

Posté par segment segment

donc pour le college cest quoi a votre avis la plus facile mon raisonnement ou utiliser par labsurde

Posté par apaugam apaugam



pair cela veut dire (traduction immédiate) divisible par 2 et non pas par 4 comme tu l'écris

en fait tu supposes n pair ey tu dis que n^2 est divisible par 4
cela est la reciproque de ce que l'on veut montrer
le plus simple c'est par l'absurde
si x^2 est pair montrons que x est pair. Si x était impair .....contradiction

Posté par segment segment

il faut pas oublier que x entier naturel

Posté par apaugam apaugam

bien sur !

Posté par segment segment

donc ca marche

Posté par minkus minkus

Segment ton truc de divisible par 4 est bidon. Je m'excuse mais...je m'excuse

Posté par segment segment

salut minkus je ne comprend pas pourquoi on accepte pas(explique moi on apprend toujours)
pour x au carre paire et x entier naturel
0 cest 4*0au carre                        
4 cest 4*1au carre
16 cest4*2au carre
36 cest4*3au carre
64 cest4*4au carre
100cest4*5au carre
.
.
.
.
donc x au carre secrit sous la forme de 4*n au carre ;
pour xau carre 2;6;8;10;12...
on peut parler de x paire

Posté par segment segment

pour la derniere ligne je veus dire on ne peut pas parler de x paire
(racine de 2;racine de 6 ....)

Posté par apaugam apaugam


ce n'est bien sur pas faux de dire x^2 divisible par 4
mais c'est un peu ennuyeux de l'affirmer ss demonstration si on a juste donné la def de pair et surtout cela est completement inutile pour ce que l'on veut demontrer
si x^2 est pair alors x est pair

Posté par segment segment

merci apaugam

Posté par lolo217 lolo217

Ne peut faire ainsi :   x²-x = x(x-1) produit de deux entiers consécutifs donc pair . Donc   x²  et  x  ont même parité .

Posté par Djinn Djinn

Elégant mais pas évident. La première implication est simple mais même au collège va nécessiter une petite explication, je te parle pas de la deuxième.
Mais élégant quand même.

Posté par lolo217 lolo217

oui merci,  je m'en doute un peu,  mais retenir pair+pair =pair  et impair+pair=impair me semble profitable pour plus tard également.