Enigmo 63 : Carré magique avec le plus petit maximum

Posté par jamo jamo

Bonjour,

Recette du carré magique : prenez un magicien, et mettez-le dans un carré !

Voici une variante de carré magique.

Dans une grille carrée de 3 lignes et 3 colonnes, le but est de placer des entiers positifs distincts, de telle sorte que les produits sur chaque ligne et chaque colonne soient tous identiques.
Jusque là, c'est assez facile, mais je rajoute la condition suivante : le plus grand nombre placé dans la grille doit être le plus petit possible.

J'ai mis deux étoiles pour la difficulté, mais en réalité, je n'ai aucune idée de la difficulté de cette énigme, elle est peut-être très simple ou très compliquée ...

Bonne recherche !

Posté par Flo08 Flo08

Bonjour,

En utilisant uniquement des multiples de 2 et 3 en plus du nombre 1, j'obtiens la solution suivante :



le plus grand nombre dans la grille est 27.
Le produit des nombres de chaque ligne est de chaque colonne est     2³ * 3³ = 216

Posté par Francois86 Francois86

3    4    18
36    6     1
2    9    12


Le produit de chaque ligne, colonne et diagonale fait 216.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je trouve :
1   15  8
10   4  3
12   2  5

Pour un produit égal à 120 et un nombre max de 15.

Posté par Eric1 Eric1

Il n'y a pas de questions, mais ma réponse est 15


8  5  3
15 2  4
1 12 10

ou

9  8  5
10 3 12
4 15  6

Posté par Eric1 Eric1

J'ai oublié de préciser:

Posté par manpower manpower

Bonjour,

pas mieux que 20 comme maximum, avec un produit de 120.



Merci pour l'Enigmo.

Posté par plumemeteore plumemeteore

bonjour Jamo
15  4  2   en première rangée
8  3  5   en deuxième rangée
1 10 12   en troisième rangée
les colonnes étant donc : 15 8 1; 4 3 10; 2 5 12
le plus grand nombre est 15
le produit commun est 120

Posté par rogerd rogerd

Merci Jamo pour cette énigme où, encore une fois, le raisonnement l'emporte sur l'informatique.
J'ai utilisé Maple (mais, en réfléchissant un peu plus, j'aurais pu m'en passer) pour trouver 9 nombres différents, le plus grand étant le plus petit possible, dont le produit soit un cube parfait.
Il a été ensuite facile de les disposer en un carré magique:

15   1    8
2    12   5
4    10   3

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour tout le monde.

en utilisant les puissances de 2, voilà ce que ça donne:

Posté par nhed nhed

Salut, pour ma part j'ai trouvé ceci:

2-9-12
36-6-1
3-4-18

Le produit est toujours egal a 216

Posté par akub-bkub akub-bkub

Bonjour à tous,

Merci pour l'énigme... et merci minkus!

Bien à vous.

Posté par Ultimixtended Ultimixtended

10    4   3
1   15   8
12    2   5

Posté par Labo Labo

Bonjour Jamo,
P=216  avec le plus petit plus grand =36
18;1;12
4;6;9
3;36;2

Posté par jandri jandri

Si l'un des entiers vaut 1, les autres sont a,b,a²,b²,ab,a²b,ab²,a²b².
La plus petite solution est obtenue pour a=2 et b=3.
A une symétrie ou rotation près:
18,1,12 sur la première ligne,
4,6,9 sur la seconde
3,36,2 sur la troisième.
Le plus grand nombre placé est donc 36.

Posté par 1emeu 1emeu

Bonjour,


voici ma solution :
8  15  3
5   6  12
9   4  10

Le plus grand nombre placé dans la grille est 15.



Et voici une preuve qu'il n'y a pas de grille avec un nombre plus petit :
- le produit de tous les nombres de la grille doit être une puissance 3e
- le plus grand nombre dans la grille est nécessairement plus grand ou égal à 9
si ce nombre vaut 9 :
alors l'ensemble des nombres dans la grille est {1,2,...,9}. Or 9! n'est pas une puissance -> contradiction
si ce nombre vaut 10, alors le produit des nombres est divisible par 5, donc par 5^3 (car le produit est un cube), Or il n'y a pas de sous-ensemble de {1,2,...,10} dont le produit est divisible par 5^3.
si ce nombre vaut 14, même argument de divisibilité par 7.
De même pour les nombres premiers 11 et 13.
Dernier cas à étudier : le plus grand nombre de la grille est 12. Alors on peut prouver que tous les nombres de la grille sont de la forme (si il existait un nombre divisible par p différent de 2 ou de 3, alors le produit des nombres serait divisible par p^3 -> contradiction). Or il n'existe que 8 noombres de cette forme plus petits ou égaux à 12 : 1,2,3,4,6,8,9,12. On ne peut donc pas former une grille à 9 cases

Merci pour l'énigme,

1emeu

Posté par totti1000 totti1000

voilà ma solution :

Posté par Tolokoban Tolokoban

Bonjour, je propose ce carré :

3  10  12
15   4   6
8   9   5

Le produit vaut 360.

Dans un autre message, je vous soumettrai un essai de démonstration qui prétend prouver que c'est le carré minimum.
Mais comme je ne suis pas très fort en démo, j'aimerais que vous me disiez sans détour, si c'est faux, où ça cloche.

Merci.

Posté par Tolokoban Tolokoban

Comme on n'a aucune contrainte sur les diagonales, quand on trouve une solution, on peut permutter les lignes et les colonnes et on a toujours la même solution avec une grille différente (la multiplication est commutative).

On peut donc s'arranger pour rechercher des solutions dont l'élément du coin supérieur gauche soit toujours le plus petit élément de la grille.

On commence alors par regarder ce qu'il se passe si cet élément minimal vaut 1.
On a la grille suivante :
1 a b
c d e
f g h

a*b = a*d*g = b*e*h
c*f = c*d*e = f*g*h

Donc :
a = e*h
b = d*g
c = g*h
f = d*e

Ce qui signifie qu'il nous suffit de déterminer 4 inconuues : d, e, g et h.

Pour 4 valeurs données A, B, C et D, on a quatre configurations possibles pour nos quatre inconnues :
AB    AB    AC    AD
CD    DC    DB    BC

Tout autre arrangement de ces possibilités est une symétrie de l'un de ces quatre.

On va donc itérer sur l'algorithme suivant :
Pour n variant de 4 à l'infini
  On met n boules dans un sac : {2, 3, ..., n+1}
  Pour tout tirage de 4 boules (A,B,C,D) dans ce sac
    On teste les 4 carrés magiques issus des 4 affectations possibles de (a,b,c,d) depuis (A,B,C,D)
    Si les huit variable (a,b,c,d,e,f,g) sont distinctes et que
    la grille résultante est un carré magique, on sort de l'algo en affichant le résultat.
  Fin Pour
Fin Pour  

Cet algo ne nous donne pas la meilleure solution, mais juste la solution suivante qui nous sert de point de départ :
Product = 180
1  15  12
18   2   5
10   6   3

La valeur maximale est 18, cela nous donne une borne max que l'on va pouvoir injecter dans notre algorithme final
puisqu'il est inutile de tester des grilles dans lesquelles on aurait une valeur supérieure à 18.

Voici l'algo final :
Pour min variant de 1 à 10
  Pour n variant de 4 à 18
    On met n boules dans un sac : {1 + min[/min], ..., 1 + [b]n}
    Pour tout tirage de 4 boules (A,B,C,D) dans ce sac
      On teste les 4 carrés magiques issus des 4 affectations possibles de (a,b,c,d) depuis (A,B,C,D)
      Si les huit variable (a,b,c,d,e,f,g) sont distinctes et que
      la grille résultante est un carré magique, on sort de l'algo en affichant le résultat.
    Fin Pour
  Fin Pour  
Fin Pour

Cet algorithme est fini et possède même relativement peu d'étapes. L'implémentation en JAVA s'exécute en moins d'une seconde.

----

Voilà, j'espère que ce que je dis est correct, mais si vous voyez la "poutre" qui est dans ma démo, je suis preneur de votre correction.
Merci.

Posté par kioups kioups

J'ai un maximum de 15...

1 8 15
12 5 2
10 3 4

Posté par veleda veleda

bonjour Jamo
voici ma proposition
(il y a peut être mieux)




le produit commun aux lignes et aux colonnes est p=2^3.3^3=216
le nombre maximun intervenant dans le tableau est 27

merci pour cet original carré magique

Posté par n6kriss n6kriss

1   6   20
12  5   2
10  4   3

Posté par yoyodada yoyodada

salut jamo et voilà ma réponse:

   6        4       15             produit lignes et colonnes: 360
   12      10        3
    5       9        8             maximum: 15

Posté par Djinn Djinn

Le plus petit nombre possible est 27 avec, par exemple, le carré magique suivant :

  1   -  8   - 27
18   -  3   -  4
12   -  9   -  2

Démonstration.

On note p le produit commun en ligne et en colonne. Puisque p est décomposable en produit de trois facteurs il ne peut être premier.
En supposant p = ²², avec et deux entiers distincts, on obtient 6 décompositions distinctes en produits de trois facteurs

1³³
²²
²²
1²²
²³
²³

On peut placer ces nombres distincts dans un carré magique de la forme

      1   - ³   - ³
²   -      - ²
²   - ²    -

Pour minimiser le plus grand nombre du carré, on choisit = 2 et = 3.

Plus intuitif que rigoureux. Mais vu les nombres obtenus, je ne pense pas qu'il existe plus petite solution que 27.

Posté par jonjon71 jonjon71


Salut à tous !

Voici ma solution :

Le plus grand nombre placé dans la grille est 15.

Le produit des lignes et des colonnes est égal à 120.

A bientôt !

Posté par torio torio

Dans l'énoncé on ne parle pas des diagonales.

Alors voici le plus petit que j'ai trouvé :


Le plus grand nombre placé est  20

les produits donnent  120.



A+
torio

Posté par torio torio

J'ai oublié d'attacher la solution :

La voici

Torio

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Sujet déjà proposé par minkus en 2006. --->

Une solution avec un produit de 120, et le plus petit maximum: 15

  5   3   8
12 10   1
  2   4 15

Posté par davidh davidh

Bonjour,

Une énigme finalement assez difficile.

A mon avis, on ne peut descendre en dessous de 15.

Un carré magique possible est:

1     12    10
15    2     4
8      5     3

Posté par Djinn Djinn

Par contre j'aurais plutôt choisi Garcimore comme magicien quand même. Majax n'a pas la carrure pour rivaliser avec le plus grand magicien de l'histoire du PAF. Parole de vieux.

Posté par Djinn Djinn

D'ailleurs je le prouve.

Si on remplace les lettres des noms de Garcimore et Majax par leur position dans l'alphabet et qu'on en fait les sommes respectives, on a la preuve éclatante que Garcimore est un magicien de PREMIER ordre, même si Majax a la tête du PARFAIT petit magicien.

G = 7
A = 1
R = 18
C = 3
I = 9
M = 13
O = 15
R = 18
E = 5

7+1+18+3+9+13+15+18+5=89 est un nombre premier.

M = 13
A = 1
J = 10
A = 1
X = 24

13+1+10+1+24=49 est un carré parfait.

CQFD.

Posté par Gael Gael

321
213
132

Posté par FitzChevalerie23 FitzChevalerie23

Hello !
Je me suis penché aussi sur ce problème, au lieu de dormir en classe, !
J'ai trouvé 20 comme maximum, et je n'ai pu faire moins...
Je ne sais pas s'il faut démontrer notre méthode ( il y en a une, au moins ? ) mais j'ai essayé de remplir le carré avec des nombre qui ont comme produit commun des nombres avec le maximum de diviseurs...
Je suis arrivé à un carré avec 120 comme produit...

Je suis arrivé à ça : Dans la première ligne  : | 15 | 2  | 4 |
                             Dans la deuxième ligne  : | 1  | 20 | 6 |
                              Dans la troisième ligne : | 8  | 3   | 5 |
Et merci pour cette petite énigme...
FitzChevalerie

Posté par jugo jugo

Bonjour,

Nombre max = 15 au mieux, avec des totaux de 120 :

Posté par padc33 padc33

bonsoir
1 10 12
20 3 2
6 4 5
donc le plus petit possible est 20

Posté par LEGMATH LEGMATH

Bonjour jamo,

Le plus grand nombre placé est 15.
Le produit est égale à 120.

Posté par Youp Youp

Le carré que j'ai trouvé a pour produit 180.

   01 | 10 | 18
   12 | 03 | 05
   15 | 06 | 02

Posté par ETU87 ETU87

Je pense que la solution suivante convient :
---------------------
--- 1 --- 6 --- 20 --
---------------------
-- 15 --- 4 --- 2 ---
---------------------
--- 8 --- 5 --- 3 ---
---------------------

Posté par lo5707 lo5707

Bonjour,

Il y a 2 solutions (hors symétries, permutations...)

08 05 03
15 02 04
01 12 10

et

09 08 05
10 03 12
04 15 06

avec pour nombre maximum: 12
et pour produits magiques: respectivement 120 et 360

Merci pour l'énigme.

PS: déjà posée par minkus -->

Posté par rezoons rezoons

Bonjour ,
je propose 20 avec:

8 10 3
5 12 4
6 2  20

qui fait un produit de 240 sur chaque collones et chaques lignes.

Posté par Poldenys Poldenys

Enigmo 63

Posté par franz franz

pour un produit de 216

Posté par piepalm piepalm

On ne peut pas faire mieux qu'un maximum de 15:
2 15 4
12 1 10
5  8 3
En effet, tout facteur premier utilisé doit se retrouver dans au moins trois nombres de la grille: donc, si l'on utilise le facteur premier 5, on doit trouver dans la grille trois multiples distincts (5,10 et 15 ici)
Et si l'on ne veut pas utiliser de facteur premier supérieur ou égal à 3, le neuvième nombre dans l'ordre croissant est 16 (1,2,3,4,6,8,9,12,16)

Posté par pucca pucca



Bonjour,

voici enfin ma réponse en espérant qu'il ne sera pas trop tard....

Posté par jw_dagon jw_dagon

Bonjour,

voici une proposition de réponse
plus grand nombre utilisé : 15

15 - 1  - 8
4  - 10 - 3
2  - 12 - 5

merci pour l'énigme.

Posté par EmAlPa EmAlPa

4 / 3 / 10
2 / 5 / 12
15 / 8 / 1

En voilà un avec 15 maxi

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

Il y a deux familles de grilles pour solution, qui conduisent au même nombre maximum utilisé égal à 15.

1ère famille avec un produit magique égal à 120 :

5 3 8
12 10 1
2 4 15

2ème famille avec un produit magique égal à 360 :

5 9 8
12 10 3
6 4 15

Posté par manpower manpower

Bonjour,

Umpf... gamelle !
Faut croire qu'en 2006, j'étais plus appliqué... et aussi que j'ai la mémoire courte !

Posté par jandri jandri

Bonjour,

J'ai lu un peu trop vite l'énoncé de l'énigme et comme habituellement dans un carré magique on tient compte des diagonales, j'ai donné une grille avec un produit identique sur chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale: le plus grand nombre est 36, le produit est 216 (nous sommes 4 à avoir donné cette réponse avec Francois86, nhed et Labo); on ne peut pas faire moins que 36.
Effectivement l'énigme avait déjà été proposé par minkus le 8/11/06 (défi 103): le plus petit maximum est 15 et il y a deux produits possibles, 120 et 360.
Le 21/11/05, J-P avait proposé un problème voisin (grille de produits): il demandait une grille avec le plus petit produit (en lignes et colonnes); c'est 120 avec 3 grilles possibles, celle avec le max égal à 15 et deux avec le max égal à 20: (20,1,6,2,15,4,3,8,5) et (20,1,6,2,12,5,3,10,4).
En conclusion, pour un carré "partiellement" magique avec égalité des produits par lignes et colonnes, il y a 2 grilles solutions pour le plus petit maximum (à une permutation près des lignes et colonnes, 144 solutions au total) et 3 grilles solutions pour le plus petit produit (à une permutation près des lignes et colonnes, 216 au total). Pour un carré "complètement" magique, il y a une seule grille solution (à une symétrie près, 8 au total) valable aussi bien pour le plus petit maximum que pour le plus petit produit.

Posté par jamo jamo

Il est en effet toujours délicat de proposer des énigmes sur les carrés magiques, qui sont tous assez connus, et qu'on peut trouver assez facilement un peu partout.

J'en profite pour redonner un lien vers un site plutot complet qui parle de ces carrés magiques :

J'avais écris un message à ce sujet ici :