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carrés dans Fq
Bonjour,
j'ai un exercice que j'ai quasiment résolu, seule une question me pose problème.
Voici l'énoncé:
Soient p un nombre premier, n
* et q=pn.
1) Trouver le nombre de carrés dans le corps Fq.
2) Soient a,b,c dans Fq*. Montrer que l'équation ax²+by²=c a au moins une solution dans Fq.
3) Si p>2, montrer que -1 est un carré dans Fq si et seulement si q est congru à 1 modulo 4.
4) Montrer qu'il existe un nombre infini de nombres premiers de la forme 4m+1.
Voilà pour l'énoncé, j'ai tout fait sauf la question2. Auriez-vous quelques pistes? Merci.
Bonjour,
en utilisant la 1), regarde les ensembles {ax²} et {c-by²} avec x, y qui parcourent Fq, dénombre combien ils ont d'éléments.
Salut Cauchy,
Je ne vois pas trop comment faire ce que tu proposes.
J'ai trouvé à la question qu'il y avait (q-1)/2 carrés( sans compter 0).
Tu veux dire que je dois regarder toutes les possibilités d'éléments de la forme ax² idem pour c-by² ?? Et regarder s'il y en a qui coïncident?
Merci de ton aide.
Salut,
utilise le principe des tiroirs, il y a trop d'éléments dans tes deux sous ensembles réunis pour qu'ils n'aient pas un élément commun.
Je vois le principe, merci.
Par contre pour dénombrer, c'est une autre histoire. Je ne vois pas comment utiliser la question 1.
Je sens qu'il n'y a rien de compliqué là dedans, mais je ne vois vraiment pas.
Salut !
attention, ce que tu as fait est tres probablement faux dans le cas ou p=2 ^^
sinon il y a comme tu l'as dit (q-1)/2 caré sans compter 0 soit (q+1)/2 carré au total.
comme (si a est non nul ! ) la multiplication par a est bijective il y a aussi (q+1)/2 element de la forme a.x²
de la meme facon il y a (q+1)/2 element de la forme c-by², donc ces deux ensembles ne sont pas disjoints !
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