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espace euclidien
Bonjour,
je veux montrer que si dim(E)=n alors il n'existe pas u(1),...u(n+2) tels que <u(i),u(j)> < 0 pour tout i et tout j.
J'ai essayé de montrer que si une telle famille existe alors u(1),..u(n+1) est libre je vois comment faire en dimension 2 et 3 mais je narrive pas à généraliser...
Bonsoir,
Une petite idée (à vérifier)
La famille u(1), ... ,u(n+1) est liée ; soit a(1), ... , a(n+1) des réels non tous nuls tels que
a(i).u(i) =0
supposons que pour tout i,j tels que i
j, <u(i),u(j)> < 0
Comme <u(n+2),u(1)> < 0 , ... , <u(n+2),u(n+1)> < 0 alors on a :
<u(n+2), a(i).u(i)> < 0
mais ceci contredit le fait que a(i).u(i) = 0
Bonne soirée 
Non, il y a un truc qui colle pas dans mon raisonnement 
; il faudrait que les coefficients a(i) soient positifs. Je cherche autre chose ...
oui, j'ai utilisé cette hypothèse dans mon raisonnement.
Une autre idée 
:
considérons le vecteur v = u(1) + ... + u(n+1) + x.u(n+2) où x est un réel positif.
alors <u(n+2),v> < 0 puisque tous les coefficients sont positifs.
Mais d'autre part :
<u(n+2),v> = <u(n+2),u(j)> + x.<u(n+2),u(n+2)>
où la somme est définie pour j = 1..(n+1)
Mais cette somme ne peut pas être négative quel que soit x, puisque <u(n+2),u(n+2)> >0 et <u(n+2),u(j)> constant
(A voir)
Hello parc64
tu as gobé ce que je t'ai écris 
?
On ne devrait rien faire dans la précipitation ; j'ai recopié rapidement ce qui n'aurait jamais dû parvenir sur le site, si j'avais fais attention 
.
En effet, il n'y a aucune raison de certifier que <u(n+2),v> < 0 puisque la combinaison linéaire contient le vecteur u(n+2).
Non, voilà ma démo :
elle est le complément de la première
il faudrait que les coefficients a(i) soient positifs.
A vrai dire, ils le sont nécessairement (ou tout au moins sont de même signes)
S'ils ne l'étaient pas, il existerait des indices i pour lesquels les coefficients a(i) seraient positifs et des coefficients j pour lesquels a(j) seraient négatifs. On aurait :
a(i).u(i) + a(j).u(j) = 0
soit
a(i).u(i) = (-a(j)).u(j)
Désignons par v ce vecteur commun. On a <v,v> > 0 mais aussi, en remplaçant v ,à gauche par
a(i).u(i) et à droite par (-a(j)).u(j), on obtient un produit scalaire négatif puisque les coefficients a(i) et -a(j) sont positifs et que les 2 décompositions de v n'ont aucun vecteur en commun.
Ici je suis (à peu près) sûr de ce que j'écris.
Encore désolé
pour le message ci-dessus.
soit a(1), ... , a(n+1) des réels tels que
a(i).u(i) =0
en faisant le produit scalaire par uj on trouve juste ajxnorme(uj)
je suppose que ds le texte on doit avoir des uj non nuls ???
on en deduit alors aj=0 et ceci pour tout j. D'où la liberté des ui,
pas besoin de se fatiguer avec
les coefficients a(i) positifs.
Bonjour apaugam,
en faisant le produit scalaire par uj on trouve juste ajxnorme(uj)
j'ai un doute : ne supposes-tu pas que la famille (u(i)) est orthogonale ?
oui, c'est bien ce que j'avais compris.
Avec l'hypothèse supplémentaire :
i, j tel que i j , <u(i),u(j)> = 0
la famille est orthogonale.
Comme l'espace E est de dimension n , elle ne peut être orthogonale que si au moins deux vecteurs sont nuls.
En effet, dans un espace euclidien de dimension n, une famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.
Il est alors faux que quel que soit i et j distincts, on ait <u(i),u(j)> <0 puisque ce sera déjà faux avec les vecteurs nuls de la famille.
On ne peut donc pas considérer ce cas.
En effet, dans un espace euclidien de dimension n, une famille orthogonale de vecteurs non nuls est une famille libre.
effectivement c'est ce que je redemontre.
On ne peut donc avoir n+1 vecteurs orthogonaux
je veux montrer que si dim(E)=n alors il n'existe pas u(1),...u(n+2) tels que <u(i),u(j)> < 0 pour tout i et tout j.
cette assertion est fausse car si on prends tous les vecteurs nuls on a bien une telle famille.
l'énoncé doit être incomplet
il n'existe pas u(1),...u(n+2) non nuls tels que <u(i),u(j)> < 0 pour tout i et tout j.
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