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Barycentre : parallélisme et alignement


premièreBarycentre : parallélisme et alignement

#msg2047622#msg2047622 Posté le 08-10-08 à 22:40
Posté par Profiltortue tortue

Bonsoir

Je demande un peu d'aide pour cet exercice:ABC est un triangle, G est le barycentre de (A,),(B(),(C,),++0
est la droite passant par A et parallèle à(BC). O désigne le milieu de [BC]
1 Démontrer l'affirmation suivante : "dire que G est un point de ,équivaut à dire que +=0"

2  On suppose que =2,=1,=-1

a) Justifier que (BG) coupe (AC) en un point J et que (CG) coupe (AB) en un point I.

b) Démontrer que les points O,I,J sont alignés

Pour 1 il faut montrer les 2 implications G +=0  si G alors k tel que GA = k BC (en vecteur)En partant de la définition du barycentre et en remplaçant GA par k BC, peut-on arriver à le démontrer ?
Pour 2)a  peut-on passer par le trapèze GABC ?(diagonales et intersection des côtés non parallèles ?
Quant au b) je n'ai rien trouvé
merci
re : Barycentre : parallélisme et alignement#msg2047806#msg2047806 Posté le 09-10-08 à 08:26
Posté par Profiltortue tortue

un petit coup de pouce SVP Merci
re : Barycentre : parallélisme et alignement#msg2047870#msg2047870 Posté le 09-10-08 à 10:14
Posté par Profiltortue tortue

pour le 2 b) j'ai démontré que
G milieu de [BJ] et A milieu de [JC] du triangle BCJ puis comme
{[JO] était la 3ème médiane du triangle JBC donc passe par I.
C'est valable ?
re : Barycentre : parallélisme et alignement#msg2047950#msg2047950 Posté le 09-10-08 à 11:50
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Bonjour,

Pour la 1), tu peux regarder ici:
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re : Barycentre : parallélisme et alignement#msg2047957#msg2047957 Posté le 09-10-08 à 12:09
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

2) On a a=2, b=1,c=-1

Supposons que (BG)//(AC)

d' après 1), a+c=0 ce qui est manifestement faux.

donc (BG) et (AC) sont sécantes en I

Même raisonnement pour (CG) et (AB) sécantes en J
re : Barycentre : parallélisme et alignement#msg2047962#msg2047962 Posté le 09-10-08 à 12:20
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

2)b) On peut démontrer que:

I barycentre de \{(A,2),(B,1)\}

J barycentre de \{(A,2);(C,-1)\}

Considérons le barycentre K de \{(I,2);(J,-1)\}

Par associativité, on peut écrire:

K barycentre de \{(A,2);(B,1);(A,-2);(C,1)\}

Soit K barycentre de \{(B,1);(C,1)\}

Donc K, milieu de [BC], est en 0 et O,I,J sont alignés.
re : Barycentre : parallélisme et alignement#msg2048063#msg2048063 Posté le 09-10-08 à 14:24
Posté par Profiltortue tortue

Merci beaucoup Cailloux de ton aide. Mais je ne comprends pas comment tu détermines K par bar de (I;2) (J,-1).
re : Barycentre : parallélisme et alignement#msg2048085#msg2048085 Posté le 09-10-08 à 14:40
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Re,

Evidemment, ça fait un peu parachuté (et pas doré)

Par exemple, j' ai fait un petit dessin et j' ai conjecturé que IJ=2IK

C' est à dire K (ou O) barycentre de \{(I,2);(J,-1)\}

Conjecture démontrée ensuite...
Barycentre : parallélisme et alignement
re : Barycentre : parallélisme et alignement#msg2048126#msg2048126 Posté le 09-10-08 à 15:11
Posté par Profiltortue tortue

OK
En fait dans  mon raisonnement je suis passée par les médianes
j'ai dit que G bar de A(2), B(1), C(-1) donc 2GA +GB-GC=0 (en vecteur)
J'introduis le point O  :
2GA + GO +OB -GO-OC =0
soit 2GA +OB-OC =0
       2GA +CB =0
         GA = 1/2BC

Dans le triangle JBC  ensuite j'applique Thalès JG/JB =JA/JC = GA/BC =1/2 Donc G milieu de JB, A mileu de JC donc [BA] et [GC] médiane du triangle BJC et se coupent en I, centre de gravité du triangle, donc [JO],troisième médiane passe par I

Je n'ai pas raisonné "barycentriquement parlant" et je voulais savoir si mon raisonnement était valable.

Merci encore
re : Barycentre : parallélisme et alignement#msg2048130#msg2048130 Posté le 09-10-08 à 15:17
Posté par Profilcailloux cailloux Correcteur

Ton raisonnement est parfaitement valable.

Au reste, ton exercice est axé sur les barycentres; je pense qu' il est préférable (mais pas indispensable) de démontrer l' alignement de 3 points en prouvant que l' un est barycentre des 2 autres.

Mais, je le répète, tu as tout juste!
re : Barycentre : parallélisme et alignement#msg2048151#msg2048151 Posté le 09-10-08 à 15:30
Posté par Profiltortue tortue

Merci encore de ton aide
tortue

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