Etude de la suite (Un) solution unique de l'équation fn(x)=0

Posté par Kiwee Kiwee

Salut, salut tout le monde.
Je voudrais déjà remercier tous les personnes qui répondent aussi vite à tous les topics et remercier ceux qui vont essayer de m'aider.
Alors voila je suis bloqué à l"exercice 2.a je ne trouve pas comment trouver l'expression générale de Un pour pouvoir calculer U2.

Voici le lien du devoir.
***


PS: j'ai réussi à faire le 1 de l'exercice 1

édit Océane : si tu veux de l'aide, merci de faire l'effort de recopier ton énoncé sur le forum, en postant un exercice par topic, merci

Posté par Kiwee Kiwee

J'ai essayé de factorisé F2(x)=0
je trouve x(x+1)²-1=0
mais après je vois pas comment utiliser la factorisation.

Pour information fn(x) est croissante sur R+
et les deux points en commun des courbes Cn sont x=0 et x=1

Pour la solution unique:
f strictement croissante et continue sur R+ donc elle réalise en bijection de R+ sur [-1,+oo[ or 0 appartient à [-1;+oo[ donc l'équation fn(x)=0 admet une seule solution: (Un)

lim Fn(x)= +oo         lim Fn(x)=-1
x->+oo                  x-> 0

Posté par Kiwee Kiwee

Exercice 1: Une suite explicite
1.Etude d'une famille de fonctions.
On considère, pour chaque entier n>=2, la fonction f_n définies sur R+ par:
F_n(x)=xⁿ⁺¹+xⁿ+x²+x-1 et Cn sa courbe représentative.
a.Etudier les variations et représenter graphiquement les fonctions f₂,f₃ et f₄.
b. Montrer que les fonctions f_n sont strictement croissantes sur R+ et que les courbes Cn ont exactement deux points en commun.
c. Montrer que l'équation f_n(x)=0 admet une solution unique sur R+ que l'on notera U_n.

2.Etude de la suite (U_n).
a. Calculer U₂ puis donner une valeur approchée à 10^-3 près de U₃, U₄ et U₁₀
b. ....

Posté par Kiwee Kiwee

euh rectification c'est l'exercice 1 2)a) ou je bloque pas le  2)a).

Posté par cailloux cailloux

Bonsoir,



Désolé mais, à moins d' une erreur d' énoncé, il n' est pas possible de calculer la valeur exacte de la racine de ce polynôme avec les moyens de la Terminale.

Pour information:

Posté par Kiwee Kiwee

Merci pour avoir répondu.
Oui notre prof nous a dit de regarder sur la calculette avec la "table" et je trouve bien U₂=0.465...

la question d'après est:
Montrer que, pour tout n appartenant à N, U_n appartient à ]0;2/3[
faut-il le montrer par récurrence

Posté par cailloux cailloux

Re,

On sait déjà que

Il suffit de démontrer que et de réappliquer le TVI à l' intervalle

Posté par Yfriuth Yfriuth

Bonjour, est-il possible de revoir l'exercice malgré le fait qu'il date de 2008 ??

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

Bien sûr, c' est possible.

Où bloques-tu ?

Posté par Yfriuth Yfriuth

À la 3 ème partie

L'énoncé complet est

Une suite explicite
1.Etude d'une famille de fonctions.
On considère, pour chaque entier n>=2, la fonction fn définies sur R+ par:
Fn(x)=xⁿ⁺¹+xⁿ+x²+x-1 et C_n sa courbe représentative.
a.Etudier les variations et représenter graphiquement les fonctions f₂,f₃ et f₄.
b. Montrer que les fonctions f_n sont strictement croissantes sur R+ et que les courbes C_n ont exactement deux points en commun.
c. Montrer que l'équation f_n(x)=0 admet une solution unique sur R+ que l'on notera Un.

2.Etude de la suite (Un).
a. Calculer U2 puis donner une valeur approchée à 10^-3 près de U3, U4 et U10
b. Montrer que tous les termes de la suite (U_n) sont dans l'intervalle ] 0, 2/3 [
c. En comparant les fonctions f_n et f_n+1 sur l'intervalle [0 , 1] montrer que l'on a Un < Un+1
d. En déduire que la suite croissante puis qu'elle est convergente


3.Calcul de la limite de la suite (Un)
a. En utilisant l'inégalité 0 < Un < 2/3, montrer que lim_{n-> +∞} (U_nⁿ) =  lim_{n-> +∞} (U_nⁿ⁺¹)
b. En déduire que la limite λ de la suite (U_n) est solution de l'équation x² + x - 1 = 0
c. Calculer λ


Pour la a) j'ai réfléchis sur le fait que comme c'est entre 0 et 1 et que c'est élevé une puissance n avec n tend vers +∞ alors c'est égale à zéro , amis je vois pas trop comment rédiger et je ne suis pas sur de ça

Posté par cailloux cailloux

3a)



et

puis les gendarmes qui donnent

même chose avec

3)b) donc

en passant à la limite, on obtient:



Donc est solution de l' équation

3)c) C' est la solution positive de cette équation soit

Posté par Yfriuth Yfriuth

Merci beaucoup ^^

Mais, par contre je n'ai pas trop compris pour le b) pourquoi x² + x - 1 = 0 tend vers 0 ??
et en quoi ça nous permet dire que λ est la solution de cette équation ? (puisque qu'on ne connais pas λ)


(le c) j'avais trouvé ça, mais j'étais pas vraiment sûr)

Posté par cailloux cailloux

On a : (1) avec:



Donc quand on pase à la limite en dans (1), on obtient:



Ce qui prouve que est solution de l' équation:

Posté par alex22 alex22

bonjour je bloque pour les questions 2)c et 2)d pourrait on m'aider svp
merci

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

2)c) Sur :



En particulier pour :



Ou encore:

puisque

et comme est croissante sur :



2)d) La suite est donc croissante et majorée (par ) donc convergente.

Posté par alex22 alex22

merci beaucoup =)

Posté par Azaril Azaril

Bonjour,

Je n'ai pas trop compris a partir de la deuxième parti :s si vous pouviez maider sil vous plait

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

Si tu repasses par ici, il serait bon que tu précises les points où tu as des difficultés.

Posté par ashyla ashyla

J'ai quelques soucis pour la question 2)b.

Je pense que cela veut dire qu'il faut démontrer que la suite (Un) est majorée, mais je ne sais pas par où commencer. :/

Posté par cailloux cailloux

Bonjour,

2)b) On sait que

et et

En appliquant le TVI à sur , on a bien