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Niveau Maths sup
Racine cubique et rationnalité
Posté par Kents
Bonjour,
Je viens vers vous pour un petit problème de mathématique (on s'en doutait, je sais ^^)
Je dois montrer que 
n
, n1/3+(n+1)1/3 n'est pas rationnel
En voyant le n je me suis dis que j'allais passer par récurrence.
Pour n=0 on trouve 11/3 qui est égal à 1. A priori ça ne marche pas, donc je pense qu'il faut montrer ça plutôt n*
Pour n=1 on trouve 1+21/3 or 21/3 est irrationnel, donc 1+21/3 aussi
Pour n=2 on trouve 21/3+31/3, est irrationnel
Donc ça à l'air de bien marcher. J'essaye alors de continuer la récurrence
Soit P(n):"n1/3+(n+1)1/3 est irrationnel"
Supposons P(n)
Montrons alors que P(n)
P(n+1)
L'idée serait de montrer que si n1/3+(n+1)1/3 est irrationnel alors soit n1/3 est irrationnel soit (n+1)1/3 est irrationnel ou les deux. Et que si n1/3 est rationnel alors (n+1)1/3 ne l'est pas.
En quelque sorte, deux racines cubiques d'entiers consécutifs ne peuvent pas être rationnelles (sauf pour 0 et 1).
Seulement là je bloque... Alors je ne sais pas si il faut passer comme ça ou pas...
Bonjour 
Cet exercice n'est pas si facile.
Pourquoi affirmes-tu que 21/3 + 31/3 est irrationnel ?
Ce n'est pas évident.
On peut le voir en remarquant que si ce nombre était rationnel, il serait entier, et constater que ce n'est pas le cas. Mais cela nécessite une justification.
Et la généralisation au cas où n est quelconque ne va pas de soi.
Cordialement
Frenicle
Bonjour,
Suffit de trouver un polynôme à coefficients dans Z qui annule ton nombre et de prouver que celui-ci n'a aucune racine dans Q (dans Z suffit) .
LA théorie te dis qu'un polynôme de degré au plus 9 va marcher ....mais on doit pouvoir faire mieux calcule déjà le cube, le carré de ton nombre et essaie de simplifier !
Bonjour,
Après quelques calculs assez fastidieux, on obtient le polynôme annulateur cherché :
-X9 + (6n + 3)X6 + (15n2 + 15n - 3)X3 + (n + 2)3
Une racine rationnelle, donc entière, de ce polynôme, divise nécessairement (n + 2)3.
Mais comment conclure qu'il n'y a pas de racine entière ? Pas évident.
Le mieux est à mon avis de procéder comme suit :
Si n est un cube parfait, c'est facile. On peut donc supposer que n n'est pas un cube parfait.
Posons alors a = n1/3, b = (n+1)1/3 et a + b = r.
On a
b = r - a
b3 = n + 1 = r3 - 3ar2 + 3a2r - n
Soit 3a2r - 3ar2 + r3 - 2n - 1 = 0
Si l'on suppose r rationnel, ceci est une équation de degré 2 à coefficients rationnels vérifiée par a.
a vérifie aussi l'équation a3 - n = 0
On en déduit, par division euclidienne, que a = r(n + r3 - 1)/(1 + 2n + 2r3), donc que a est rationnel, ce qui est faux car n n'est pas un cube parfait.
Sauf erreur 
Cordialement
Frenicle
Effectivement, j'étais assez loin de la solution... Merci en tout cas
Je vais demander à mon professeur de Math la prochaine fois si c'était cela qu'il attendait où s'il y avait une méthode différente (car je dois avouer que cube parfait, pas parfait, ça ne me parlais pas trop avant d'avoir la solution ^^)
Très belle solution de frenicle, il serait intéressant de savoir dans quel chapitre du cours cet exercice a été posé , c'est souvent une indication sur la méthode à utiliser.
Bonjour,
Il y a plus simple que la solution de frenicle.
Supposons n entier >0 et r=n1/3+(n+1)1/3 rationnel. On en déduit r3=n+3n2/3(n+1)1/3+3n1/3(n+1)2/3+n+1=2n+1+3r(n(n+1))1/3 d'où puisque r est non nul: (n(n+1))1/3=(r3-2n-1)/(3r) nombre rationnel. Donc n(n+1) est le cube d'un rationnel, donc le cube d'un entier; comme n et n+1 sont premiers entre eux, n et n+1 sont des cubes: c'est impossible pour n entier >0.
On peut d'ailleurs généraliser à n nombre rationnel différent de 0, -1 et -1/2 mais il faut utiliser le théorème de Fermat pour l'exposant 3: x3+y3=z3 n'a pas de solution dans Z vérifiant xyz non nul.