Enigmo 65 : La course de la Saint-Sylvestre

Posté par ISsamAY ISsamAY

Rencontre en Y 18h 10min 59s

on pose d = 0.1 km le diamètre
        x le temps après lequel il y aura rencontre

Soit n(resp n') le nombre de fois de parcours du segment(resp arc) XY par Bernard (resp Alain)

alors  n'd/2 = nd = 6x

on trouve x10min 59s

Posté par Wasiwasa1729 Wasiwasa1729

Bonjour a tous,
Faisons un petit raisonnement par l'absurde:
Lors de l'hypothetique rencontre, Alain et Bernard aurait nager autant de temps et à la même vitesse, il aurait donc parcouru la même distance que l'on notera " d ".

Pour alain : k tel que d = k 100/2
soit d = 50k

Pour Bernard : k' tel que d = 100 k'

Donc 50k = 100k'

et donc =2k'/k ce qui implique que est rationnel. Or est irrationnel. contradiction

Donc il n'y aura pas de rencontre (du moins si on considère les 2 nageurs comme ponctuelle et leurs trajectoires comme parfaites, Sinon dans le monde réel on peut considerer que pour k'=16 et k=10 soit 5 tours pour alain et 8 aller-retours pour Bernard les deux nageurs seront assez proches pour considerer qu'il s'agit d'une rencontre.Rencontre qui aurait lieu à 18 h 16).

Posté par jamo jamo

Clôture de l'énigme

L'impossibilité de trouver une réponse à cette énigme était bien entendu due à l'irrationalité du nombre .

Certains ont pris une valeur approchée pour le nombre , ce qui pouvait conduire à beaucoup de réponses différentes en fonction de l'approximation choisie.
D'autres ont décidé que les deux nageurs se rencontrent dès qu'ils sont "assez proche" l'un de l'autre. Là encore, en fonction de la distance choisie, on pouvait trouver une infinité de solutions (pourquoi choisir 50cm, et pourquoi pas 49,5 ? )

Posté par jandri jandri

Bonjour jamo,

Les deux nageurs ne peuvent pas être assimilés à des points!
Comme ils partent du même point au même instant, la précision est de l'ordre de quelques décimètres.
Quand Bernard aura parcouru 355 diamètres, il sera en Y et Alain y sera aussi puisque celui-ci aura parcouru 113 demi-circonférences plus 3 millimètres, c'est négligeable devant les dimensions des nageurs.
Ils se rencontreront donc le 24 décembre à 23h55.
remarque: quand Bernard a parcouru 44 diamètres, il est en X mais Alain est à 1,77 mètres de X: ils ne se rencontrent pas.

Posté par jamo jamo

Certes, mais pourquoi 3mm ?

Pourquoi pas 5mm, ce qui conduirait à un autre réponse.

Et pourquoi pas 2 mm, ce qui donnerait encore une autre réponse.

Et pourquoi prendre des mm, et pas des pouces ?

Bref, en fonction du choix de chacun, on pouvait donner une infinité de réponse, ce qui n'est pas raisonnable.

Posté par rogerd rogerd

Bonjour Jamo!

J'essaie de t'envoyer un mail à l'adresse j*m*m*th@l*p*st*.n*t mais apparemment, ça ne marche pas..

*edit T_P : pas de mail en clair SVP*

Posté par Eric1 Eric1

ouais, je suis pour l'instant en tête du classement...

Ca doit bien être la première fois


_{Et d'après mes calculs, si ça se joue au temps (donc en évitant les poissons), il n'y aura qu'une minute d'écart entre NF et moi}

Posté par matovitch matovitch

Même pas le piège que je redoutais !

MV

Posté par veleda veleda

bonsoir jamo
il m'a semblé que 3 étoiles pour une énigme où il suffisait de répondre impossible parce que
est irrationnel c'était beaucoup (d'autant plus que  le texte ne contenait  pas  l'habituel"si le problème est impossible dites le")d'où ma solution avec une valeur approchée de donnant un résultat plausible, pour une fois ce n'est pas un poisson du à mon étourderie !

Posté par jandri jandri

Bonjour jamo,

Je n'ai pas été assez clair; chercher à minimiser c'est rechercher les meilleures approximations fortes de par des rationnels. Elles sont données par le développement en fraction continue de . Il faut de plus ici que p et q aient la même parité (sinon un nageur est en X et l'autre en Y). La première réduite de est 22/7 qui donne p=44 et q=14; vaut alors 1,77 mètres, c'est trop grand. La deuxième réduite 333/106 donne p=206 et q=666, c'est plus que la troisième réduite qui est excellente: 355/113 qui donne p=113 et q=355 d'où . A cause de la condition de parité on ne peut faire mieux qu'avec la sixième réduite, 208341/66317 qui donne mais Bernard et Alain auraient alors parcouru 20834 km soit plus de 144 jours de nage, ce n'est pas possible.
J'ai donné la réponse correspondant à 355/113 car 35,5 km en 5h55 est (presque) réaliste pour un grand nageur.

Posté par Daniel62 Daniel62

Bonjour,

ceux qui ont pris 355/113 se sont trompés

Alain a parcouru 113 demi-tours soit 50..113 17750 m, il se trouve au point Y

Bernard a parcouru 177 périmètres 177*100= 17700 m et 50 m, il se trouve au centre de la piscine.

Posté par Daniel62 Daniel62

Re Bonjour,

Bernard parcourt bien des diamètres (et non pas des périmètres) !!!

j'en profite pour rajouter:

la meilleure réponse apès 22/7 est:

       1398/445 avec un écart de 0,43654m et un temps de 699 minutes (au point Y)

puis 1420/452 avec un écart de 0,006m et un temps de 710 minutes (au point X)

Posté par jandri jandri

Bonjour,

Merci à Daniel62 de m'avoir expliqué mon erreur: j'ai pris 100 comme demi-périmètre au lieu de 50. Il intervient donc le développement en fraction continue de /2 et non celui de ; de plus comme il faut deux entiers de même parité, il peut intervenir une approximation faible (comme ) qui n'est pas une réduite de /2. L'écart entre les deux nageurs est bien de 6mm au bout de 710 minutes (cela commence à faire beaucoup!)

Posté par khoubiak khoubiak

Bernard nageant le long du diamètre à vitesse constante v a une demie-période
P = 2R/ v (durée d'un allé).
Soit n un entier positif représentant le nombre de demi-trajets.
Bernard passe donc:

     - en Y tous les (2n+1).P = (2n+1).2R/v
     - en X tous les 2n.P = 2n.2R/v

Alain nageant lui le long de la circonférence à la même vitesse constante que Bernard v a une demie-période P' = Pi.R/v. Soi n' un entier positif représentant le nombre de demi-trajets, Alain passe donc en :

     - en Y tous les (2n'+1).P' =(2n'+1).Pi.R/v = (2n'+1).Pi/2.P
     - en X tous les 2n'.P' = 2n'.Pi.R/v = 2n'.Pi/2. P

Pour que Alain et Bernard se rencontrent en Y il faut avoir:
(2n+1).P = (2n'+1).Pi/2.P donc (2n+1) = (2n'+1).Pi/2
n et n' étant entiers, c'est donc impossible!

Pour qe Alain et Bernard se rencontrent en X il faut avoir:
2n.P = 2n'.Pi/2. P don n = n'. Pi/2
n et n' étant entiers, c'est donc impossible !

A moins de boire l'eau de la piscine au risque de ne plus nager, je crains que nos pauvres Alain et Bernard mourront de déshydratation avant de se rencontrer....le comble pour des nageurs.

Posté par jamo jamo

khoubiak >> Bravo, mais l'énigme a été cloturée ...

Posté par franz franz

Je me permets de réfuter mon poisson, les nageurs n'étant pas assimilables à des points sans longueur et la précision des chronomètre n'étant pas infinie

Posté par jamo jamo



Dans ce cas, chacun prenait la précision qu'il voulait en distance (10cm ou 7,5mm ou 1,3pouces ou 4,6micrometre ...) ainsi qu'en temps (0,1seconde ou 0,004235 seconde ou ...), ainsi que la précision qu'il voulait pour PI (3 ou 3,14 ou 22/7 ou ...) et comme ça tout le monde avait le poisson !