Structures de groupe, sous-groupes

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Structures de groupe, sous-groupes

Posté le 13-10-08 à 21:43

Posté par jthessa

Bonjour à tous,

Je ne sais comment aborder ni résoudre cet exercice :

L'objet est de prouver qu'il existe un groupe (G, .) d'élément neutre e, satisfaisant aux conditions suivantes :

I) il existe dans G deux élément a et b, distincts et différents de e, tels que la partie A={a,b} engendre G
II) a²=b² et a²

e
III) a.b.c.=b
IV) a⁴=b⁴= e
(Il est rappelé que, pour tout élément x de G, on définit xⁿ comme suit:
x⁰= e ; (

)xⁿ⁺¹=xⁿ.x ; (

^*)x^-n=(xⁿ)^-1)

1 ) Montrer que G est un groupe à 8 éléments dont on donnera la table de Pythagore(on pourra désigner respectivement par c et d les éléments a.b et a²
2 ) Déterminer tous les sous-groupes du groupe (G, .)

Merci de m'apporter de l'aide

re : Structures de groupe, sous-groupes

Posté le 14-10-08 à 01:09

Posté par franz

Je pense que l'énoncé est :

III) a.b.a=b

Cherchons l'ensemble des éléments générés par a seul : $A=\{a, a^2=d, a^3=a^{-1}, a^4=e\}$

Cherchons les éléments générés par b seul : $B=\{b, b^2=d, b^3=b^{-1}, b^4=e\}$

Montrons que $G=\{e,a,b, d, a^{-1},b^{-1} , ab=c, ba=c^{-1}\}$

(en effet $(ab).(ba) = a.b^2.a = a.a^2.a=a^4=e$ )

$3$a.e=a$
$3$a.a=d$
$3$a.b=c$
$3$a.d=a^{-1}$
$3$a.a^{-1}=e$
$3$a.b^{-1}=a.b^3=a.b.b^2=a.b.a^2=(a.b.a).a=ba=c^{-1}$
$3$a.(ab)=a^2.b=b^2.b=b^3=b^{-1}$
$3$a.(ba)=a.b.a=b$

G est stable par composition à gauche par a

de même G est stable par composition à droite par a (les points délicats sont
$3$b^{-1}.a=b^3.a=b^2.b.a=a^2.b.a=a.(a.b.a)=a.b=c$
$3$(ba).a=b.a^2=b^3=b^{-1}$ )

de même G est stable par composition à droite et gauche par b donc la table de Pythagore de G est

$4$\red\array{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|$ \hline \hspace{5}\nearrow.\hspace{5}& &\hspace{5} e\hspace{5} & \hspace{5} a\hspace{5} &\hspace{5} b \hspace{5}&\hspace{5} c &\hspace{5} d \hspace{5}&\hspace{5} a^{-1}\hspace{5} &\hspace{5} b^{-1}\hspace{5} &\hspace{5} c^{-1}\hspace{5} \\ \hline \\ \hline e & & e & a & b & c & d & a^{-1} & b^{-1} & c^{-1} \\ \hline a & & a & d & c & b^{-1} & a^{-1} & e & c^{-1} & b\\ \hline b & & b & c^{-1} & d & a & b^{-1} & c & e & a^{-1} \\ \hline c & & c & b & a^{-1} & d & c^{-1} & b^{-1} & a & e \\ \hline d & & d & a^{-1} & b^{-1} & c^{-1} & e & a & b & c \\ \hline a^{-1} & & a^{-1} & e & c^{-1} & b & a & d & c & b^{-1} \\ \hline b^{-1} & & b^{-1} & c & e & a^{-1} & b & c^{-1} & d & a \\ \hline c^{-1} & & c^{-1} & b^{-1} & a & e & c & b & a^{-1} & d \\ \hline }$

re : Structures de groupe, sous-groupes

Posté le 14-10-08 à 01:12

Posté par franz

Tu peux montrer que les sous groupes strictement inclus dans G sont

$\{e\}$ , $\{e,d\}$ , $\{e,d,a,a^{-1}\}$ , $\{e,d,b,b^{-1}\}$ et $\{e,d,c,c^{-1}\}$

Structure de groupe, sous-groupes

Posté le 14-10-08 à 07:37

Posté par jthessa

Bonjour Franz,

Merci beaucoup pour ton aide précieuse qui me montre comment aborder ce type d'exercice.
Je pense que j'ai encore beaucoup de chemin à faire ... pour maîtriser les concepts ensemblistes de l'algèbre, en MPSI.

Effectivement j'avais fait une erreur dans la rédaction de la condition III) de l'énoncé, malgré ma relecture ...

Cordialement,

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