résoudre équation différentielle

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résoudre équation différentielle

Posté le 13-10-08 à 21:56

Posté par juju

Bonjour, j'ai besoin de votre aide.

Le but est de trouver une solution f strictement positive sur R de l'équation différentielle :
y'=2y(1-y) telle que f(0)=1/2

1°) Montrer que si f vérifie les condition ci dessous alors la fontion g définie par g(x)=1/f(x) est solution de l'équation différentielle y'=-2y+2

2°) Résoudre le problème proposé.

Merci

re : résoudre équation différentielle

Posté le 13-10-08 à 22:56

Posté par cailloux

Bonsoir,

1)Comme $f$ est strictement positive et dérivable sur $\mathbb{R}$ , $g=\frac{1}{f}$ est elle même dérivable sur $\mathbb{R}$ .

$f(x)=\frac{1}{g(x)}$

donc $f'(x)=-\frac{g'(x)}{g^2(x)}$

Si $f$ vérifie les conditions données alors $g$ vérifie:

$-\frac{g'}{g^2}=\frac{2}{g}(1-\frac{1}{g})$

$-g'=2(g-1)$

soit $g'=-2g+2$

2) d' où $g(x)=ke^{-2x}+1$

et $f(x)=\frac{1}{ke^{-2x}+1}$

puis $f(0)=\frac{1}{2}\Longrightarrow \frac{1}{k+1}=\frac{1}{2}$ et $k=1$

$f(x)=\frac{1}{1+e^{-2x}}$ qui est bien strictement positive.

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