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Produit Scalaire!! Au secours

   
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premièreProduit Scalaire!! Au secours

#msg98288 Posté le 23-12-04 à 21:40
Posté par amateuriste (invité)

I
1) démontrer que pour tout x reel
8sinx.cosx.cos2x.cos4x = sin8x

2) En déduire la valeur exacte de
a°) Cospi / 7 . cos2pi/7 . cos4pi/7
b°) Cospi / 9 . cos2pi/9 . cos4pi/9

II ABC est un triangle. On note a = BC; b = AC ; c = AB et 2p = a + b + c
démontrer que l'aire A du triangle est égale à racine carré de (p(p-a)(p-b)(p-c))

III ABC est un triangle. On note a = BC ; b = AC ; c = AD.
Déterminer et construire l'ensemble E des pts M du plan tels que : MA² + MB² + MC² = a² + b² + c².

Merci d'avance
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98293 Posté le 23-12-04 à 21:46
Posté par DivXworld (invité)

I-1)tu sais que sin(2x)=2sin(x)cos(x)
donc sin(8x)=2sin(4x)cos(4x)
                =4sin(2x)cos(2x)cos(4x)
                =8sin(x)cos(x)cos(2x)cos(4x)

  2)il faut juste appliquer la formule ci-dessus

pour le reste mes souvenirs sont trop lointains lol, dsl
Merci#msg98314 Posté le 23-12-04 à 22:24
Posté par amateuriste (invité)

Merci beaucoup pour ton aide DivXworld.
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98329 Posté le 23-12-04 à 22:54
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Bonjour

Voici pour la II ( attention c'est peut-être un peu long )

Alors je vais commencer par le commencement :

----------------------


Tout dabord rappelons une petite formule :
\blue Aire=\frac{Base\times hauteur}{2}

On a :
sin(C)=\frac{h}{a}
donc :
h=a.sin(C) .
On obtient alors une nouvelle formule pour calculer l'aire du triangle :
Aire=\frac{1}{2}ab.sin(C)

Si on note S l'aire du triangle on obtient alors en permutant les notations :
\begin{tabular}S&=&\frac{1}{2}ab.sin(C)\\&=&\frac{1}{2}bc.sin(A)\\&=&\frac{1}{2}ac.sin(B)\end{tabular}
Et si l'on divise tout par \frac{abc}{2} :
2$\green\fbox{\frac{sin(C)}{c}=\frac{sin(A)}{a}=\frac{sin(B)}{b}}

Cette dernière relation va nous permettre de calculer l'aire d'un triangle connaissant la longueur d'un côté et les mesures de ses deux angles adjacents.

En effet , on en déduit que :
\frac{sin(B).sin(C)}{bc}=\frac{sin^{2}(A)}{a^{2}}
d'où :
bc=\frac{a^{2}.sin(B).sin(C)}{sin^{2}(A)}

et puisque :S=\frac{1}{2}bc.sin(A) on en déduit :
2$\red\fbox{S=\frac{a^{2}.sin(B).sin(C)}{2.sin(A)}}

--------------------

Avant d'en venir a la démonstration de la formule de Héron ( celle qui est demandé dans ton exercice) je vais faire un petit rappel sur le théoréme d'Al kashi

Démonstration à l'aide des produis scalaires :


\begin{tabular}\vec{BC}^{2}&=&(\vec{AC}-\vec{AB})^{2}\\&=&\vec{AC}^{2}-2\vec{AC}.\vec{AB}+\vec{AB}^{2}\\&=&\vec{AC}^{2}-2\|AC|.|AB|.cos(A)\end{tabular}
soit :
2$\black\fbox{a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos(A)}

--------------------

Bien , attaquons nous a la formule de héron :

Du théoréme d'Al Kashi on obtient :
cos(A)=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc} et de la relation (1) : sin(A)=\frac{2S}{bc}

La relation : cos^{2}(A)+sin^{2}(A)=1 s'écrit alors :
\(\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\)^{2}+\frac{4S^{2}}{b^{2}c^{2}}=1

On obtient alors :
\begin{tabular}16S^{2}&=&4b^{2}c^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}\\&=&(2bc+b^{2}+c^{2}-a^{2})(2bc-b^{2}-c^{2}+a^{2})\\&=&[(b+c)^{2}-a^{2}]\times[a^{2}-(b-c)^{2}]\\&=&(b+c+a)(b+c-a)(a+b-c)(a-b+c)\end{tabular}

Puisque les nombres a, b et c sont les longueurs d'un triangle, ils vérifient les inégalités
a < b + c, b < a + c, c < b + a et par suite le second membre de l'égalité est positif.
De plus b + c - a = (b + c + a) - 2a = 2(p - a) en appelant p le demi-périmètre du triangle.

On obtient alors :
4S=\sqrt{2p.2(p-a).2(p-b).2(p-c)}

Ce qui nous donne magiquement la formule de Héron :
4$\blue\fbox{S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Voili Voilou c'est fini

J'espere que tu as réussi à tout comprendre


Jord
Merci beaucoup Nightmare#msg98381 Posté le 24-12-04 à 00:54
Posté par amateuriste (invité)

Merci beaucoup Nightmare...pour la rédaction et le temps que tu as passé dans la rédaction. j'ai compris et je passerais du temps dans la correction pour mieux comprendre. Merci Encore
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98384 Posté le 24-12-04 à 01:45
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Pas de probléme amateuriste

Je précise juste que pour l'exercice , je ne pense pas que tu aie besoin de tout recopier , fais une synthése générale . Par exemple pas besoin ( à moin que tu veuilles impressioner le prof ) de démontrer le théoréme d'al kashi ou le théoréme des Sinus ( je ne sais plus vraiment comment il s'appelle ) . Dire que tu les utilises et cité leur expression générale suffira emplement . Enfin maintenant , tout dépend de toi .
Remarque , on aurait pu aussi démontrer la formule de l'aire d'un triangle :
Aire=\frac{base\times hauteur}{2} ce qui n'est relativement pas dur :



On a : Aire_{ABC}=Aire_{AHC}+Aire_{HCB}

Or , Aire_{AHC}=\frac{AH\times HC}{2} et Aire_{HCB}=\frac{BH\times HC}{2}
Donc :
\begin{tabular}Aire_{ABC}&=&\frac{AH\times HC}{2}+\frac{BH\times HC}{2}\\&=&\frac{AH\times HC+BH\times HC}{2}\\&=&\frac{HC(AH+BH)}{2}\\&=&\fbox{\frac{HC\times AB}{2}}\end{tabular}

Bon au préalable il aurait fallu démontrer la formule de l'aire d'un triangle rectangle mais la ça reléve du niveau 4éme . enfin , allons y :
:
Aire_{ABC}=Aire_{ABCD}\times\frac{1}{2}
soit :
Aire_{ABC}=\frac{1}{2}(a\times b)

Mais bon la encore ..... BOn daccord je m'arréte

Bon , tout ça pour dire que tu peux ommettre ces démonstrations , ne fais pas comme moi


Jord

re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98408 Posté le 24-12-04 à 10:45
Posté par Emma (invité)

... Mais au fait... Dis, Nightmare...
Comment tu démontres que l'aire d'un rectangle est égale au produit de sa largeur par sa longueur ?

re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98454 Posté le 24-12-04 à 12:19
Posté par ProfilNightmare Nightmare

hum a vrai dire j'y ai pensé Emma mais c'est vrai que j'avou ne pas pouvoir y apporter une réponse concréte ... Nous avons bien la petite explication du professeur de 5éme qui nous dit que dans un carré de 5 cm de côté on peut rentrer 25 petit carré de 1 cm de côté donc son aire est 25 mais .... j'en reste pas forcémment convaincu .

Considérons ça comme un axiome


Jord
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98457 Posté le 24-12-04 à 12:22
Posté par Profilclemclem clemclem Posteur d'énigmes

Bonjour,

Juste pour informations le théorème des sinus s'appelle en faite Loi des sinus Nightmare (je le sais suis en plein dedans...)

A plus
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98459 Posté le 24-12-04 à 12:24
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Ah Merci clemclem t'es un chef

Enfin , du moment que j'ai réussi a le démontrer , je peux lui donner le nom que je veux pour la suite de l'exo


Jord
Merci encore Nightmare#msg98481 Posté le 24-12-04 à 13:05
Posté par amateuriste (invité)

Je voudrais te remercier  Nightmare pour l' aide que tu m'apportes.
j'ai fait un petit résumé de tte ta démonstration mais je n'ai juste pris que l'essentiel.
Pour l exo 3#msg98486 Posté le 24-12-04 à 13:14
Posté par amateuriste (invité)

Je suis un peu perdu Nightmare. Je sais pas s'il faut pas faire intervenir le barycentre.. Est ce que tu ne pourrais pas m'aiguiller sur ce sujet stp?
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98503 Posté le 24-12-04 à 13:39
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Hum je ne pense pas qu'il faille faire intérvenir cette notion ... Mais qui sait , tu peux toujours trouver une autre démonstration à l'aide de celle-ci


Jord
re Nightmare#msg98525 Posté le 24-12-04 à 14:14
Posté par amateuriste (invité)

Re slt,

voici ce que je propose.
On sait que a = BC b = AC et c = AD
Danc si on remplace a b c on obtient
MA² + MB² + MC² = BC² + AC² + AD²
MA² + MB² + MC² = (MB + MC)² + (MA + MC)² + (MA + MD)².
Mais après je bloque...
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98531 Posté le 24-12-04 à 14:24
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Ahhh , je ne savais aps que tu me parlais de l'exercice 3) ! Je croyais que tu me parlais du 2) moi

en effet avec le 3) tu risques bien de faire intervenir les barycentes , du moin on est sur de toucher aux égalités vectorielles


Jord
Slt Nightmare#msg98536 Posté le 24-12-04 à 14:35
Posté par amateuriste (invité)

Je voudrais savoir si mon raisonnement est exacte stp mais je bloque. Est ce qtu ne pourais pas plus m'aiguiller sur ce sujet stp??
Merci d'avance
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98546 Posté le 24-12-04 à 14:46
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Bonjour

Je n'ai pas encore vraiment approfondi mon étude des barycentres mais essayes de poser G le barycentre de ton triangle et de décomposer tes vecteurs en fonction de celui-ci

En effet , MA^{2}=\vec{MA}^{2}=(\vec{MG}+\vec{GA})^{2}

tu devrais pouvoir arriver à quelque chose de concret


Jord
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98555 Posté le 24-12-04 à 14:58
Posté par ProfilVictor Victor

Première remarque : il y a une erreur dans ton énoncé, on a en fait : c=AB et non pas AD. Il n'y a pas de point D dans l'énoncé.

Deuxième remarque : l'idée de Nightmare peut te permettre d'aboutir au résultat. Soit G l'isobarycentre de A, B et C, c'est à dire le centre de gravité du triangle.
En décomposant MA², MB² et MC² comme te l'a indiqué Nightmare, on obtient :
3MG²=a²+b²+c²-GA²-GB²-GC²

A poursuivre...
merci Victor#msg98569 Posté le 24-12-04 à 15:17
Posté par amateuriste (invité)

c'est le résultat que j'ai justement obtenu.
ptite question#msg98570 Posté le 24-12-04 à 15:18
Posté par amateuriste (invité)

est ce qu'il faut faire intervenir un barycentre aussi pour a b et c??
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98580 Posté le 24-12-04 à 15:29
Posté par ProfilVictor Victor

Pas forcément, a²+b²+c²-GA²-GB²-GC² est une constante.
re Victor#msg98630 Posté le 24-12-04 à 16:25
Posté par amateuriste (invité)

Victor je pense avoir trouvé la réponse à la question.
Je te présente mon résonnement:
j'ai décomposé a b et c en fonction de G et j'obbtient
3MG²= 2 AG² + 2 GC² - GA² - GB² - GC²
3MG²= - 3 GA² + GC - GB²
MG² = - GA² + GC² - GB²
MG = - GA + GC - GB
H BARYCENTRE DE (A,-1) (b,-1) (c,1)
d'apres la propriétée fondamentale
MG = - GH
Est ce que tu pourrais voir si mon résonnement est excte et ainsi mon résultat obtenue. STP et En faite bonne veille de fete de noel.
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98655 Posté le 24-12-04 à 17:16
Posté par ProfilVictor Victor

Le gros problème est ta dernière étape :
Si MG² = - GA² + GC² - GB², on n'a pas
MG = - GA + GC - GB
C'est complètement faux !
J'aurais préféré te dire que tout était juste pour que tu passes un bon réveillon mais il faudra encore faire quelques efforts.
re Nightmare#msg98669 Posté le 24-12-04 à 17:38
Posté par amateuriste (invité)

Salut Nightmare. Pourrais tu me donner un coup de pouce pour trouver l'ensemble de définition de
MG²= -GA² + GC² - GB² Stp
En faite bonne veille de fete de noel et merci d'avance.
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98671 Posté le 24-12-04 à 17:40
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Lol voyons amateuriste , un petit effort On t'a donné beaucoup de piste la , tu devrais y arriver tout seul !


Jord
Excuse moi Nightmare#msg98676 Posté le 24-12-04 à 17:48
Posté par amateuriste (invité)

je vous remercie pour vos indication.
Pour réuddir je vais un peu réfléchir. Bonne vacance de noel et à la prochaine j'espere..
P tite Question#msg98884 Posté le 25-12-04 à 18:45
Posté par amateuriste (invité)

Bonjour,

Je voudrais juste vous demander si le cos de pi/9 et de pi/7 est = à 1 oui ou non?
Et ainsi je bloque tjrs pour trouver l'ensemble E de définition de MG² = - GA² + GC² - GB².
Est ce que ça serait possible que vous m'aiguiller sur ce probleme?
Merci d'avance et Bonne fete de Noël
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98887 Posté le 25-12-04 à 18:51
Posté par amateuriste (invité)

Le problème#msg98890 Posté le 25-12-04 à 19:01
Posté par amateuriste (invité)

En faite , je n'arrive pas à trouver son ensemble car ce sont les carrés qui me gene et  alors je ne peux pas utiliser la propriété fondamentale sur le barycentre et c'est comme cela que mon prof nous a appris.. Alors je ne vois pas comment résoudre cela? mais??
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98903 Posté le 25-12-04 à 19:27
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Bonjour

Ni de \cos\(\frac{\pi}{9}\) ou de \cos\(\frac{\pi}{7}\) n'est égal à 1


Jord
re Nightmare#msg98919 Posté le 25-12-04 à 19:53
Posté par amateuriste (invité)

Bonjour nightmare,

J'ai dit cela car en tapant dans ma calculatrice ces données je trouve 1. Mais alors à quoi est égale le cos de chacun de ces 2 termes stp?
Merci d'avance et bonne fete de Noel
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98923 Posté le 25-12-04 à 20:00
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Re

Je n'ai pas de valeur exacte à te donner , ma calculette n'en donne pas . tout ce que je sais c'est que tu as peut etre mis ta calculette en degré pour trouver 1 (\cos\(\frac{\pi}{9}deg\)\approx 0,99...\approx 1 )


jord
Re Nightmare#msg98975 Posté le 25-12-04 à 22:19
Posté par amateuriste (invité)

Ne peux tu pas m'aiguiller sur l'ensemble de définition stp car je bloque vraiment. est ce qu'il faut utiliser le barycentre encore ou le produit scalaire..
Merci d'avance
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg98980 Posté le 25-12-04 à 22:22
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Dsl mais je ne peux vraiment pas t'aider , je te l'ai dit je n'ai pas encore approfondie mon étude sur les produits scalaire et je ne préfére pas dire des choses qui pourraient te mener à une mauvaise conclusion donc attendons l'avis d'un expert


Jord
Merci#msg98983 Posté le 25-12-04 à 22:24
Posté par amateuriste (invité)

Effectivement ma claculatrice était en ° mais je l'ai mis en radian et j'obtiens des valeurs correct.
Merci encore
Questions??#msg99174 Posté le 26-12-04 à 14:59
Posté par amateuriste (invité)

Bonjour,

Est ce que vous pouvez m'aider afin de trouver l'ensemble de définition?SVP
Bonne vac et @ +
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg99510 Posté le 26-12-04 à 20:07
Posté par ProfilsiOk siOk

Bonjour


=> Nigthmare

Il y a un petit "truandage" dans ta démonstration de l'aire du triangle ... assez classique en collège


Tu lis un renseignment sur la figure sans le dire ... donc tu ne traite qu'un des cas.
Et si la hauteur est extérieure au segment ? Ilk ne faut plus additionner les aires mais en soustraire deux !

De plus, même si tu discutes plusieurs cas, comment prouver qu'il n'existe pas d'autres cas ?

Bon à un niveau de géométrie élémentaire ... on laisse courir (mais il vaudrait mieux bien dire aux élèves quand on "truande").



Ce qui pose problème, c'est la discussion des cas pour additionner les aires. Cette difficulté se retrouve dans d'autres notions:
- les longueurs de segment ... d'où l'intérêt des "segments orientés" qui débouche sur les mesures algébriques
- les angles géométriques ... d'où l'intérêt des angles orientés
- les aires ... d'où l'idée d'introduire des aires "algébriques"

re : Produit Scalaire!! Au secours#msg99521 Posté le 26-12-04 à 20:31
Posté par ProfilNightmare Nightmare

Oui en effet siOk c'est vrai que je n'ai pas traité tout les cas . Mais toute façon si l'on veut une démonstration solide , rien de mieux que de construire un rectangle circonscrit au triangle . enfin , on la connait tous


jord
y a t il un expert pour le produit scalaire?svp#msg99523 Posté le 26-12-04 à 20:43
Posté par amateuriste (invité)

re bonjour,,
je bloque tjrs pour trouver et représenter l'ensemble de définition de MG²= -GA² + GC² - GB² .
Je ne sais pas quoi faire après cela. Pouvez vous m'aiguiller sur ce sujet?svp
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg99525 Posté le 26-12-04 à 20:49
Posté par Emma (invité)

Salut amateuriste

Je n'ai pas le courage de tout relire (et je n'aurais d'ailleurs même peut-être pas le temps de te répondre ce soir, mais bon...)

Je ne comprends pas trop ta question ... De quel ensemble de définition s'agit-t-il ?

Pourrais-tu me donner la question exacte de ton énoncé, s'il te plaît ?

Merci
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg99527 Posté le 26-12-04 à 20:52
Posté par ProfilsiOk siOk

=> amateuriste

Si le second membre est positif, l'ensemble cherché est le cercle de centre G et de rayon racine(-GA²+GC²-GB²)



=> Nigthmare
Tu est sur qu'avec les rectangles, tu ne fais aucune lecture sur la figure ? Comment savoir si il faut ajouter ou soustraire les aires des deux rectangles sans "regarder" le dessin ?
Voici l ennonce et mon resonnement Emma#msg99532 Posté le 26-12-04 à 20:55
Posté par amateuriste (invité)

III ABC est un triangle. On note a = BC ; b = AC ; c = AD.
Déterminer et construire l'ensemble E des pts M du plan tels que : MA² + MB² + MC² = a² + b² + c².
Je te présente mon résonnement:
j'ai décomposé a b et c en fonction de G et j'obtient
3MG²= 2 AG² + 2 GC² - GA² - GB² - GC²
3MG²= - 3 GA² + GC - GB²
MG² = - GA² + GC² - GB²
et on sait que 3MG²= a² + b² + c² - GA² - GB² - GC²
Merci d'avance Emma.
Merci siok#msg99535 Posté le 26-12-04 à 20:59
Posté par amateuriste (invité)

Merci siOk , mais comment pourrais je placer le pt G du plan et le cercle de Rayon (-GA²+GC²-GB²)
Merci et bonne vacance
re : Produit Scalaire!! Au secours#msg99536 Posté le 26-12-04 à 21:00
Posté par Emma (invité)

Et bien, en effet, amateuriste...
siOk te l'as dit :

Tu as justifié que MG² = - GA² + GC² - GB²

Mais - GA² + GC² - GB² est un nombre réel fixe (et positif... à vérifier quand même)...
Notons-le r :
r = - GA² + GC² - GB²

Alors tu cherches l'ensemble des points M tels que GM² = r
c'est-à-dire tels que GM = r

C'est bel et bien la définition du cercle de centre G et de rayon r...

@+

Emma
Merci bcp Emma#msg99540 Posté le 26-12-04 à 21:07
Posté par amateuriste (invité)

Je vous remercie tous pour votre aide et ainsi tte l'equipe d'iledemaths.
Passer de tres bonne vacance de Noel et @ la prochaine
heu probleme#msg105970 Posté le 03-01-05 à 19:11
Posté par franckayak (invité)

je crois que r = -GA² -GB² -GC²
il y a toujours de l'aide sur se topic .?

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