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Normes équivalentes
Bonjour, un petit exercice avec le genre de question sur lesquelles je n'arrive pas trop à me lancer...
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On considère la suite telle que
.
Soit : bijective.
On pose :
A quelle condition sur , les normes
et
sont-elles équivalentes ?
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J'imagine qu'il faut que ne mélange pas trop l'ordre des termes, mais bon...
Merci d'avance.
Bonjour
je ne comprend pas comment est définie la suite des r_n ? les rationnels de [0;1] sont dénombrables, OK, mais on les prend dans quel ordre ?
Salut à tous!
C'est toute l'astuce, n'importe quel ordre au départ!
Je n'ai pas voulu intervenir pour ne pas le changer de couleur, mais puisque c'est fait...
Je ne connais pas la réponse, mais je commencerais bien par regarder ce qui se passe pour une transposition. Je subodore que la réponse est du genre 
à support fini.
J'essayerai sérieusement ce soir!
si la permutation échange les pairs et les impairs ça change pas grand chose et elle n'est pas à support fini .
Tu as raison, il ne faut pas trop que ça mélange. Plus précisément, il faut que |sigma(n)-n| soit une suite bornée.
Si cette suite est bornée par K, on a l'équivalence des normes avec des facteurs 1/K et K (calcul facile).
Si les normes sont équivalentes, il faut considérer pour chaque rationnel r_n une suite de fonctions u_k à valeurs entre 0 et 1: u_k vaut 1 en r_n et est nulle en dehors de [r_n-1/k,r_n+1/k]. On calcule alors les deux normes:
||u_k|| tend vers 1/(2^n) quand k tend vers l'infini
||u_k||_sigma tend vers 1/(2^(sigma^-1(n))
Le quotient de ces deux grandeurs étant borné, on obtient une borne sur |n-sigma^-1(n)| indépendante de n. Ceci revient au même qu'une borne sur |sigma(n)-n|.
Petit rectificatif
Si cette suite est bornée par K, on a l'équivalence des normes avec des facteurs 1/(2^K) et 2^K (calcul facile).
Bonsoir lafol, Camélia, et lolo.
>> lafol : comme Camélia l'a bien dit on ne connait pas l'ordre de départ, ça peut être n'importe quoi.
>> Camélia : merci de te pencher sur la question en tout cas ! L'idée du support fini est intéressante en effet mais comme lolo l'a dit ça n'a pas l'air d'être une condition nécessaire.
Re !
J'ai parfaitement compris le raisonnement mrnocnoc, merci. Par contre :
Si cette suite est bornée par K, on a l'équivalence des normes avec des facteurs 1/(2^K) et 2^K (calcul facile).
Je vois pas ça de manière évidente quand j'écris les deux normes... Puis-je avoir quelques intermédiaires ?
Merci.
[tex]$\Sigma_{n=0}^{+\infty}\frac{f(r_n)}{2^n}= \Sigma_{n=0}^{+\infty}\frac{f(r_{\sigma(n)})}{2^{\sigma(n)}}$
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