Niveau Maths sup

suites

Posté par
Eric-sson 15-10-08 à 01:15

Bonsoir,

j ai commence cet exercice mais a un certain moment je me bloque,

j ai besoin de votre aide

On considère $3$u_n = \Bigsum_{k=1}^n \sqrt{k}$

1)Montrer que $3$\forall n \in\mathbb{N}*$    $\frac{n\sqrt{n}}{2} \le u_n$

En déduire que $4$(\frac{n}{u_n})$ converge et préciser sa limite

2°) on pose pour tout $3$ n \in\mathbb{N}*$    $5$v_n=u_{2n} -u_n$

Monter que   $5$\forall n \in\mathbb{N}*$ $3$n\sqrt{n+1} \le v_n \le n\sqrt{2n}$     . en déduire le comportement des suites           $5$(\frac{v_n}{n}) et (\frac{v_n}{n^2})$

merci

Posté par re : suites 15-10-08 à 06:49

1)
Il faut montrer que pour $x \in [0,n]$ , on a l'inégalité $\sqrt{x}+\sqrt{n-x} \geq \sqrt{n}$ . Il suffit d'étudier la fonction.
On regroupe ensuite les termes k et n-k pour obtenir le résultat.

Posté par re : suites 15-10-08 à 08:33

bonjour
>>mrnocnoc
les deux membres de ton inégalité sont positifs il suffit de comparer leurs carrés

Posté par re : suites 15-10-08 à 11:32

ca c'est fait !!

et pour la seconde question?!!

Posté par re : suites 15-10-08 à 13:51

La majoration par $n\sqrt{2n}$ est triviale: il y a $n$ nombres à ajouter, et chacun d'eux est plus petit que $\sqrt{2n}$ .

La minoration est triviale aussi: il y a $n$ nombres à ajouter, et chacun d'eux est plus grand que $\sqrt{n+1}$

On en déduit que la première suite tend vers $+\infty$ et la deuxième vers 0.

Posté par re : suites 15-10-08 à 15:27

merci

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