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espace métrique notion de distance (topologie)
Bonjour à tous
Soit (E,d) un espace métrique et A un sous ensemble de E.
On définit le diamètre de A par: 
(A) = sup d(x,y)
x,y
A
Vérifier que d est une distance:
a). 
x,y
, d(x,y) = min(1,\x-y\) = 0 = \x-y\
<=> x=y
b). x,y, d(y,x) = min(1,\y-x\) = min(1,\x-y\) = d(x,y)
c). premier cas: \x-z\
1
................................
deuxième cas: \x-z\>1 => d(x,z) = 1
................................
questions:
1). Pourquoi dans le a). d(x,y) = min(1,\x-y\) est-ce une propriété ?
2). Toujours dans le a). pourquoi min(1,\x-y\) = 0, pourquoi = 0 ?
3). Pourquoi dans le c). on a ces 2 cas ?
4). Toujours dans le c). deuxième cas, pourquoi \x-z\>1 => d(x,z) = 1, c'est = 1 que je ne comprends pas 
Merci d'avance pour vos explications 
1). Pourquoi dans le a). d(x,y) = min(1,\x-y\) est-ce une propriété ?
Non, c'est la définition de la d. On te demande de prouver que d est une distance.
2). Toujours dans le a). pourquoi min(1,\x-y\) = 0, pourquoi = 0 ?
Pour vérifier que d(x,y)=0 => x=y
3). Pourquoi dans le c). on a ces 2 cas ?
Parce que ça dépend de x, y et z mais dans tous les cas on arrivera à prouver l'inégalité triangulaire
4). Toujours dans le c). deuxième cas, pourquoi \x-z\>1 => d(x,z) = 1, c'est = 1 que je ne comprends pas
c'est la définition de d.
Salut 
Déjà je ne comprends pas, on est dans un espace métrique E et dans la démo on atterrit dans R... Ensuite effectivement la définition est la distance est très bizarre. Ne manque-t-il pas une partie de l'énoncé?
Oh je suis désolée sorry, je viens juste de m'apercevoir qu'on parle de la métrique discrète en fait: = 
(normale que vous ne comprenez pas trop) encore désolée 
Ok, donc je relis mon exo et je vous dis mes incompréhension
Toujours la même question 1/. on sait que d(x,y) = \x-y\ dans mon cours je n'ai que cette définition, le min n'intervient pas. Pourquoi min ? et surtout min(1,\x-y\) ? 1?
Merci d'avance pour vos explications et encore désolée
Bonjour,
C'est une distance qui donne la topologie usuelle de IR, mais qui est bornée (le diamètre: )
La métrique discrète ne correspond toujours pas ...
Elle ne prend que la valeur 0 ou 1. min(1,|x-y|) peut prendre toutes les valeurs dans [0,1]!
Oui, c'est vrai je suis assez d'accord avec toi, bizarre d'autant plus que c'est la correction de mon prof ?
Bonjour romu ok
Pour info cette question à été traiter après cette question:
Montrer que (Bo(x,r)) 2r est-ce que ça change quelque chose ?
avec I = {d(x,y) / x,yBo} 
R majorée par 2r
=> sup I = (Bo(x,r) 2r
C'est ce que mon prof a déduit de cette question
En fait pour la métrique on me donne juste cette information:
(A) = sup d(x,y) x,yA
c'est mon prof qui a posé ce fameux "min" et je ne comprends pas comment il l'a trouvé ?
Désolée pour mon incompréhension
cette information c'est la définition du diamètre.
après il a posé et l'exo c'est de montrer que c'est une distance sur IR.
Ah d'accord donc c'est la définition du diamètre ie: (A) = sup d(x,y) = min(1,\x-y\)
Ok, je ne savais pas du tout que c'était la définition du diamètre
Merci romu pour cette éclaircissement je n'aurais jamais trouvée
Sinon Nightmare oui, je suis tout à fait d'accord avec toi, (c'est le même énoncé sur ma feuille) d'où mes questions 
C'est bon je viens de comprendre on a:
d(x,y) = min(1,\x-y\) parce que l'énoncé dit "on définit le diamètre de A" et min(1,\x-y\) est la définition du diamètre ok, j'ai tout compris.
N'empêche merci romu pour cette définition 
bonne aprem
non, ne confonds pas distance et diamètre,
n'est pas la définition du diamètre, ça n'a aucun rapport.
Plus clairement notons
,
.
et
sont toutes les deux des distances sur
, et elles induisent la même topologie sur
.
Cependant si tu prends une partie , si
est le diamètre de
par rapport à la distance
, et
est le diamètre de
par rapport à la distance
,
on a pas forcément (tu peux regarder par exemple pour
).
Ok à présent tout est clair, comment aprés cette super explication ne pas comprendre, c'est vrai que j'étais carrément à coté de la plaque 
Une fois de plus merci romu pour ton aide, c'est sympa
Bonne fin de journée
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