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Fonction dérivabilité
Bonjour,
J'ai un exercice de maths à faire et je ne sais pas trop comment commencer.
Soit f une fonction de classe C² sur [a,b] (a<b) telle que f(a)=f(b)=0.
Soit x0 un élément fixé de Ia,bI (intervalle ouvert) tel que f(x0)différent de 0.
1) Montrer qu'il existe un polynôme P de degré 2 et un seul tel que P(a)=P(b)=0 et P(x0)=f(X0).
2)Montrer, en utilisant la fonction f-P, qu'il existe c de Ia,bI (intervalle ouvert) tel que f(x0)=(x0-a)(x0-b)/2 * f''(c).
Merci de votre aide...
Bonjour,
1) Tu connais les 2 racines et une valeur : P est bien déterminé et tu peux l'écrire directement factorisé.
2) La fonction f-P s'annule 3 fois, en a, en x0 et en b; qu'en est-il de la première dérivée f'-P' ? et de la deuxième dérivée f"-P" ?
Bon travail !
Bonjour.
1°) Puisque P(a) = P(b) = 0, P s'écrit P(x) = k.(x-a)(x-b)
Le fait que P(x0) = f(x0) permet de trouver k :
Finalement P est déterminé de manière unique par :
2°) Posons D(x) = f(x) - P(x).
On a :
¤ D(a) = D(x0) = 0. Donc par le théorème de Rolle, il existe u € ]a,x0[ tel que D'(u) = 0
¤ D(x0) = D(b) = 0. Donc par le théorème de Rolle, il existe v € ]x0,b[ tel que D'(v) = 0
Alors, D'(u) = D'(v) = 0 signifie que l'on peut encore appliquer le théorème de Rolle à la fonction D'.
Il existe c € ]u,v[ tel que D"(c) = 0.
Or, un calcul élémentaire donne
Je te laisse terminer.
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