Niveau maths spé

EVN - Compacité

Posté par
puisea 27-10-08 à 10:14

Bonjour, je voudrais savoir si mon raisonnement sur l'exercice suivant est correct.

_________________________________________________________________

Soit B l'ensemble des suites bornées de réels ou de complexes, muni de la norme uniforme.
L'ensemble des suites nulles à partir d'un certain rang est-il un compact de B ?
_________________________________________________________________

Je note $B=\{(x_n)\in\mathbb{C}^{\mathbb{N}},\exists M\in\mathbb{R}^+,\forall n\in\mathbb{N},|x_n|\le M\}$

et $A=\{(x_n)\in B,\exists N\in\mathbb{N},\forall n\ge N, x_n=0\}$

Soit $(x^k)\in A^{\mathbb{N}}$ avec $x^k=(x^k_n)\in A$

On a $\forall k$ , $\exists N_k$ tel que $\forall n\ge N_k$ , $x^k_n=0$

On cherche une application $\varphi$ strictement croissante de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ telle que $x^{\varphi(k)}\to x$ .

$(x_0^k)$ est une suite bornée de $\mathbb{C}$ , donc il existe $\varphi_0$ telle que $x_0^{\varphi_0(k)}\to x_0$ .

On construit de même les applications $\varphi_n$ et on pose $\varphi(k)=\varphi_0 o ... o \varphi_k(k)$ .

On a $x^{\varphi(k)}\to x$ où $x=(x_n)$ .

Et on a bien $x\in A$ car si $N=\max\{N_k,k\in\mathbb{N}\}$ , on a $\forall n\ge N$ , $x_n=0$

Correct ?

Posté par re : EVN - Compacité 27-10-08 à 11:07

Salut Pierre

Le problème est que N peut très bien ne pas exister (a priori, on n'a aucun contrôle sur la suite $\Large{(N_k)}$ qui peut être non bornée).
D'ailleurs, cet ensemble n'est pas compact (intuitivement, on peut avoir de la masse qui fiche le camp à l'infini). Pour le montrer, intéresse-toi à la suite $\Large{(x^k)}$ vérifiant $\Large{x_n^k=\delta_{n,k}$ .

Kaiser

Posté par re : EVN - Compacité 27-10-08 à 12:07

Salut kaiser.

Effectivement, on ne maitrise pas du tout N...

Bon, je vais essayer de montrer par l'absurde que l'ensemble n'est pas compact avec la suite que tu proposes.

On considère donc $(x^k)$ où $x^k=(\delta_{n,k})$ .

Je suppose que $(x^k)$ possède une valeur d'adhérence.
Il existe donc $\varphi : \mathbb{N}\to\mathbb{N}$ strictement croissante telle que :

$||x^{\varphi(k)}-x||_\infty = \sup\{|x_n^{\varphi(k)}-x_n|,\quad n\in\mathbb{N}\}\to_{k\to\infty}0$

Donc :

$\forall\epsilon>0,\forall n\in\mathbb{N},\exists k_\epsilon,\forall k\ge k_\epsilon,\quad |x_n^{\varphi(k)}-x_n|=|\delta_{n,\varphi(k)}-x_n|<\epsilon$

Donc on a $x=$\delta_{n,\varphi(k)$_{n\ge 0}\notin A$

Donc A n'est pas compact.

Correct ?

Posté par re : EVN - Compacité 27-10-08 à 12:19

Je ne comprends pas ta notation : pourquoi il y a un k dans la définition de la suite x ?
Cela dit, tu n'as pas besoin d'identifier l'éventuelle valeur d'adhérence. Il suffit de voir que les éléments de la suite $\Large{(x^k)}$ ne sont pas vraiment proches.

Kaiser

Posté par re : EVN - Compacité 27-10-08 à 13:01

Je ne comprends pas non plus... ça n'a effectivement pas de sens.

Est-ce que si l'on dit que $\forall k\ge 1$ , $||x_{k+1}-x_k||_\infty = 1$ , cela suffit à dire que la suite $(x_k)$ ne converge pas ?

Posté par re : EVN - Compacité 27-10-08 à 13:07

C'est même mieux que ça : la distance entre deux éléments distincts de la suite est toujours égale à 1 donc, a fortiori, ça sera vrai pour tous les éléments d'une sous-suite donc pour toute extraction $\Large{\varphi}$ , $\Large{x^{\varphi(k+1)}-x^{\varphi(k)}}$ ne tend pas vers 0 d'où le résultat.

Kaiser

Posté par re : EVN - Compacité 27-10-08 à 13:35

Oui d'accord !

Merci kaiser.

Posté par re : EVN - Compacité 27-10-08 à 13:35

Mais je t'en prie !

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