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Niveau Licence Maths 1e ann
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groupe nilpotent (sous groupe et quotient)

Posté par
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27-10-08 à 20:11

Bonsoir,

Il s'agit de deux résultats qui on l'air bien connus mais dont je ne trouve la preuve nulle part(ni sur l'île, ni dans ma tête...).

Soit G un  groupe nilpotent alors tout sous groupe H de G est nilpotent, et, si H est distingué G/H est nilpotent.

Merci de votre aide!

Posté par
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re : groupe nilpotent (sous groupe et quotient) 27-10-08 à 20:57

S'il vous plait un petit coup de main...

Posté par
tringlarido
re : groupe nilpotent (sous groupe et quotient) 27-10-08 à 21:12

Notons  C^i(G) la suite centrale descendante de notre groupe nilpotent.

Pour les sous-groupes: si  H < G alors  C^i(H) \subset C^i(G) .

Pour les quotients  : on a un morphisme [tex] G \rightarrow G /H surjectif qui se prolonge en morphismes surjectifs  C^i(G) \rightarrow C^i(G/H) .

Posté par
Rodrigo
re : groupe nilpotent (sous groupe et quotient) 27-10-08 à 21:20

Bonjour,
Si H est inlcus dans G alors (H,H)=C1(H) est inlcus dans  (G,G)=C1(G), et bien sur Cn(H) inclus dans Cn(G)...Donc si Cn(G) est trivial Cn(H) l'est encore plus...
Mainteant nous avons une surjection naturelle de Cn(G) sur Cn(G/H)

Posté par
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re : groupe nilpotent (sous groupe et quotient) 27-10-08 à 21:25

Merci pour cette aide.

Mais, je ne sais pas ce qu'est la suite centrale descendante et je ne vois pas pourquoi avoir un morphisme surjectif [tex]C^i(G) \rightarrow C^i(G/H)[\tex] me donne que G/H est nilpotent.

Les argument sont surement trop  evolués pour moi.

Posté par
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re : groupe nilpotent (sous groupe et quotient) 27-10-08 à 21:27

Merci pour la suite centrale j'ai compris, mais l'histoire de la surjection je ne vois vraiment pas...

Posté par
tringlarido
re : groupe nilpotent (sous groupe et quotient) 27-10-08 à 21:29

Si on a une surjection  G \rightarrow H et que  G est trivial... alors H est ?

Posté par
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re : groupe nilpotent (sous groupe et quotient) 27-10-08 à 21:32

En effet!
Merci beaucoup à tous les deux!



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