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isomorphisme d'espace vectoriel


maths spéisomorphisme d'espace vectoriel

#msg2091868#msg2091868 Posté le 30-10-08 à 20:42
Posté par Profilaudes audes

donc voilà, j'ai un énnoncé, où il faut montrer qu'il y a un isomorphisme. Mais le problème c'est que j'ai déjà du mal a comprendre l'énoncé.
Enoncé: Une suite sera notée u : soit (Un)ncN le terme d'ordre n est noté Un.
Soit (a0, a1, ...., ap-1)compris dans C^p C ensemble des complexes tel que a0=/= 0
E=C^N avec C les complexes et N les entiers naturels.
Soit F un ss-ev de E constitué des suite (Un)ncN telles que:
VncN, Un+p=a(p-1)U(n+p-1)+ ... + a1Un+1 + a0Un
1) Soit H: F--> C^p
           (Un)ncN--->(U0, U1, ..., Up-1)
montrer que H est un isomorphisme d'ev.

Donc pour le moment j'ai eu quelques pistes:
pour montrer que H est un isomorphisme d'ev il faut montrer que H est une application linéaire et qu'elle est bijective.
Mnt j'ai un pb .
Je n'arrive pas bien à voir ce qu'est H(Un)
J'ai dit que H(Un) = b0U0 + b1U1+ .... + b(p-1)U(p-1)
et apres on peut montrer que c'est une application linéaire . MAis je suis un peu bloquée.

Merci d'avance
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2091892#msg2091892 Posté le 30-10-08 à 20:48
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Bonsoir,

tu devrais, quesstion de lisibilité, aller faire un petit tour du côté de la syntaxe  \LaTeX pour écrire des formules mathématiques.

on peut réussir à faire très facilement  \mathbb{C} ou  u \in \mathbb{C}^p ou encore  H : F \rightarrow E
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re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2091899#msg2091899 Posté le 30-10-08 à 20:51
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Il vaut mieux noter tes suites  u = (u_n)_{n \in \N} pour éviter les problèmes.

Pour montrer la linéarité, comment procédes-tu ?

Pour montrer qu'une application linéaire est injective, il y a une méthode très rapide...

Pour montrer qu'elle est surjective, c'est encore plus facile (dans le cadre de l'exemple de ton exercice).
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2091963#msg2091963 Posté le 30-10-08 à 21:25
Posté par Profilaudes audes

Bonsoir

Merci de m'avoir répondu aussi rapidement.

pour la linearité on avait vu en sup:
V (A,B) \in\ R il faut que
F(A+B)=F(A) + F(B)
F(A)= F(A)
si ces deux conditions sont respectées alors F est linéaire
et pour l'injectivité il faut montrer que Ker(F)={O}
et après il faudrait montrer que dim(E)=dim(F) pour montrer que c'est surjectif il faut que dim(F)=dim(^p)

si je ne me trompe pas

Merce pour vos conseils!
cordialement AK
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2092057#msg2092057 Posté le 30-10-08 à 22:11
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Oui, oui (on peut se tutoyer ?), tu connais très bien les outils à mettre en oeuvre. Tu ne devrais pas trouver de problème à la résolution de l'exercice.

L'exercice consiste à montrer que l'ensemble des suites définies par une récurrence d'ordre p (fixée) est un espace vectoriel de dimension p. Il y a un point délicat, l'espace vectoriels des suites  E = \mathbb{C}^\mathbb{N} est un espace de dimension infini. Mais on s'en débarasse rapidement. Plus formellement les suites récurrentes d'ordre p est :
 F = \{ u \in E; \forall p \geq p u_{n+p} = a_{p-1} u_{n+p-1} + \ldots + a_0 u_{u_n} \}
où on a fixé les a_i et on prend garde que a_0 \not= 0 pour que ce soit pas une récurrence d'ordre p-1.

On demande de motrer que fixer les p premières valeurs de la suite détermine toute la suite.


Est-ce que ces indications sont suffisantes ? Sinon, dis-moi précisément le point qui bloque ?
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2094057#msg2094057 Posté le 31-10-08 à 18:05
Posté par Profilaudes audes

Merci beaucoup je crois que j'ai compris.
En montrant que F est de dim p puisque les suites sont d'ordre p. et c'est pour cette raison que 00

Mnt j'ai une question un peu plus précise.
Est-ce qu'on peut écrire:

(Un)=0U0+ ... + p-1Up-1
parce que pour montrer que c'est linéaire je sais pas trop quoi prendre comme fonction parce que j'ai du mal à mettre sous forme de fonction cette application:

:Fp
               (Un)n(U0, U1, .... , Up-1)


Voilà
Merci pour tes indications.
AK
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2094145#msg2094145 Posté le 31-10-08 à 18:27
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Je ne sais pas si tu as compris...

Considérons un exemple simple, p=1 avec  a_0 = \lambda . Les suites qui vérifient :
 u_{n+1} = \lambda u_n
sont exactement les suites géométriques de raison  \lambda . Une telle suite est entièrement determinée par son premier terme car on a la relation :
 u_n = \lambda^n u_0

Maintenant,
 \begin{array}{clcl}
 \\  \varphi : & F & \rightarrow & \mathbb{C}^p \\ & u & \mapsto & u_0
 \\ \end{array}
est bien linéaire, car par définition :
 (\alpha u+ \beta v)_n := \alpha u_n + \beta v_n
et en particulier :
 \varphi(\alpha u + \beta v) = (\alpha u+ \beta v)_0 = \alpha u_0 + \beta v_0 = \alpha \varphi(u) + \beta \varphi(v)
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2094222#msg2094222 Posté le 31-10-08 à 18:43
Posté par Profilaudes audes

oki

je vois mieux . Merci

Je vais pouvoir continuer mon dm maintenant.

Merci
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2094490#msg2094490 Posté le 31-10-08 à 20:07
Posté par Profilaudes audes

Mnt j'ai un autre petit soucis :s ...
on pose B=-1(BC) où BC est la base canonique de p
et faut donner une description des suites e(1),..., e(p)
de B

dans ca cas la base canonique c'est:
(1,0, ... ,0)
(0,1, ...,0)
...

...
(0, ... ,0,1)
et e(1) c'est le vecteur ligne 1 de la matrice dans la base B
...
e(p) c'est le vecteur ligne p de la matrice dans la base B
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2094498#msg2094498 Posté le 31-10-08 à 20:09
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Je ne suis pas d'accord avec toi,  e^{(1)} est une suite (car un élément de F).

Qui est la base B ?
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2094529#msg2094529 Posté le 31-10-08 à 20:19
Posté par Profilaudes audes

euh...

e1 c'est une suite. on peut donc l'exprimée à l'aide de -1
pour trouver e1 on applique -1
au premier vecteur de la base canonique de p
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2094543#msg2094543 Posté le 31-10-08 à 20:21
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Que veut dire exprimer  e^1 à l'aide de  \varphi^{-1} ?

Essaye de résoudre ce problème sur l'exemple que je t'ai donné.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2094589#msg2094589 Posté le 31-10-08 à 20:39
Posté par Profilaudes audes

si

(Un)=U0
alors Un=-1(U0)
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2094606#msg2094606 Posté le 31-10-08 à 20:45
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Ce n'est pas vraiment une expression... en plus elle est fausse :
 \varphi(u) = u_0 .

Pourquoi  \varphi^{-1} est-elle bien définie ?

L'exrcice est : calculer explicitement les termes de la suite  \varphi^{-1}(v) lorsque v est un élément de la base canonique.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2094870#msg2094870 Posté le 31-10-08 à 22:13
Posté par Profilaudes audes

-1 est bien définie parce qu'on a montreé pécedement que c'est un isomorphisme cad une applicatio linéaire bijective. et donc -1 existe.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2095232#msg2095232 Posté le 01-11-08 à 09:24
Posté par Profiltringlarido tringlarido

D'accord avec toi.

Mais  \varphi^{-1}(e^{(1)}) n'est pas vraiment une description de suite, comme tu le demandais.

Une descritpion de suite est
u_0 vaut ça
u_1 vaut ça
u_2 vaut ça
etc
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2098508#msg2098508 Posté le 02-11-08 à 13:19
Posté par ProfilGuillau Guillau

Bonjour,ayant le même genre de problème et étant coincé,je me permet de répondre à ce topic en réutilisant les notations déjà utilisées.

Voilà les différentes questions que je me pose:

Si l'on prend le premier vecteur canonique : (1,0, ... ,0)

doit on lui appliquer -1 pour obtenir e(1)?

Et si oui on obtien  e(1) = U0 qui est une constante?

Merci à vous de m'éclairer sur ces différents point.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2098751#msg2098751 Posté le 02-11-08 à 14:22
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Une suite constante n'est que rarement dans  F !  e^{(1)} n'est pas du tout la suite constante égale à  u_0 .

On prend bien le premier vecteur canonique  (1,0,\ldots) et on lui applique  \varphi^{-1} pour obtenir  e^{(1)} . Ce qu'on obtient c'est la suite de F telle que :
 u_0 = 1 \quad u_1 = 0 \quad \ldots \quad u_{p-1} = 0

Il n'y en a qu'une car on peut montrer que  \varphi est injective. Cependant, pour répondre à l'exercice, il faut décrire tous les autres termes de la suite à partir de la relation de récurrennce.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2098913#msg2098913 Posté le 02-11-08 à 14:55
Posté par ProfilGuillau Guillau

Por décrire tous les autre termes de la suite avec la relation de récurrence,il faut fixer n=0 et faire varier p?

Si c'est le cas U1=0U0?

Mais ca serait impossible vu que U1=0 et que 00.

Je crois comprendre le but de l'exercice,mais je ne comprends pas vraiment comment utiliser cette recurrence,quoi que je fasse je tombe sur des égalités impossible.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2099018#msg2099018 Posté le 02-11-08 à 15:14
Posté par Profiltringlarido tringlarido

p est fixé au début de l'énoncé ! Ce n'est pas une variable.

Je ne crois pas que tu comprends le but de l'exercice si tu me dis que p est une variable. Prends p=1 pour le moment, c'est-à-dire que :

1) la relation de récurrence est de la forme :
 u_{n+1} = \alpha u_n
avec  \alpha non nul.

2) L'espace  F est de dimension 1, il n'y a que la suite telle que :  u_0 = 1 qu'il faut expliciter.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2099148#msg2099148 Posté le 02-11-08 à 15:40
Posté par ProfilGuillau Guillau

On se trouve dans le cas d'une suite géométrique de raison a.

On a donc une suite u tel que :

u=1+a+a^2+...+a^n


Donc pour p fixé on aurait une suite v tel que

v=1+0+(p-1*0)+((p-1*p-1*0)+p-2*0)....

ou plus clairement  
v=v0+vp+vp+1....
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2099198#msg2099198 Posté le 02-11-08 à 15:49
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Je suis d'accord avec ta première phrase.

Je ne comprends pas la suite : c'est quoi ces + ?
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2099228#msg2099228 Posté le 02-11-08 à 15:55
Posté par ProfilGuillau Guillau

Je pensais qu'il fallait calculer pour p fixé ,et grâce à la récurrence tous les termes a partir du p-ième (tous les autres étant connus), et les additionner  pour obtenir la suite e(1)
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2099246#msg2099246 Posté le 02-11-08 à 15:59
Posté par ProfilGuillau Guillau

(Désolé pour le multi post)

En me relisant j'ais compris l'erreur grossière que j'ais commise

On a u=U0* a^n
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2099300#msg2099300 Posté le 02-11-08 à 16:09
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Maintenant je suis d'accord avec toi.

Il n'y a qu'une seule suite géométrique de raison  \alpha dont le premier terme est  u_0 = 1 , il s'agit de la suite  u définie par :

 \forall n \geq 0,\ u_n = \alpha^n


Après ces quelques remarques faciles sur le cas  p = 1 il s'agit de généraliser à p quelconque.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2099430#msg2099430 Posté le 02-11-08 à 16:30
Posté par ProfilGuillau Guillau

il faut donc que je trouve un lien entre vp,vp+1,vp+2...?
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2099677#msg2099677 Posté le 02-11-08 à 17:13
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Non pas vraiement un lien entre.

Mais lorsque tu as montré que  \varphi était injectif tu as aussi montré que  u_p, u_{p+1}, u_{p+2}, \ldots ne dépendent que des p premiers termes de la suite  u_0, u_1, \ldots, u_{p-1} . Il existe donc des formules pour ces termes là. Il faut les expliciter dans le cas où  u = e^{(i)} = \varphi^{-1}((0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0) c'est-à-dire :
 u_i = 1 \quad \text{et} \quad u_j = 0 \ \forall j \in \{0,1,\ldots,i-1,i+1,\ldots,p-1\}
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2099862#msg2099862 Posté le 02-11-08 à 17:51
Posté par ProfilGuillau Guillau

Donc il faut que j'explicite tous les up+n.
Par exemple pour e(1) on aurait :

up=0*U0
up+1=p-1*up=p-1*0*U0

Et faire la même chose pour  e(2) ...

La seule difficulté serait donc de trouver comment s'ecrirait up+n pour les e(i)?
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2099898#msg2099898 Posté le 02-11-08 à 18:00
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Oui, c'est exactement ça !

Si tu continue à expliciter les termes de  e^{(1)} tu devrais voir apparaîtres des relations relativement simple entre  n et  u_n .
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100226#msg2100226 Posté le 02-11-08 à 19:06
Posté par ProfilGuillau Guillau

Malheuresement les relations que je vois apparaître pour e(1) ne sont pas simples:

J'obtiens cela : un=U0*(0*(p-1n-p+....+n-p)

Les "...." symbolisant des expressions que je n'arrive pas à expliciter pour up+n
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100330#msg2100330 Posté le 02-11-08 à 19:33
Posté par Profiltringlarido tringlarido

En effet, tu as raison, c'est pas joli joli ! J'ai l'impression qu'on ne peut pas trouver de relation pour tout n, je suis aller un peu vite tout à l'heure.


Par contre, il existe une base sympathique pour  F . Au lieu de prendre  \varphi^{-1} de la base canonique, il vaut mieux regarder une autre base.

On s'intéresse au polynôme :
 P(X) = X^p - \alpha_{p-1} X^{p-1} - \ldots - \alpha_1 X - \alpha_0

Supposons que  a est une racine de  P(X) alors on peut exprimer très simplement  \varphi^{-1} ((1,a,a^2,\ldots,a^{p-1})) .

Si le polynôme admet p racines distinctes, on trouve une jolie base de  F , sinon c'est un peu plus délicat.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100362#msg2100362 Posté le 02-11-08 à 19:43
Posté par ProfilGuillau Guillau

Mais par la suite j'ais une autre application,et dois montrer que F est stable par celle ci dans le but de trouver sa matrice et de calculer son polynome caracteristique.Je pensais qu'il fallait utiliser la base en rapport avec -1(BC) pour trouver une matrice simple(avec des coefficient sur la diagonale).Mais en effectuant un changement de base même si le polynome caracteristique reste le même la matrice obtenu ne sera elle pas plus compliqué?

Et vu que les e(i) sont des suite, comment pourrais je en tirer une base?

J'avoue me perdre un peu.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100418#msg2100418 Posté le 02-11-08 à 19:55
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Les  e^{(i)} forment une base de F. Ce n'est pas la peine d'en "tirer une base"...

Lorsque tu travailles sur F, il suffit de travailler sur les p premiers éléments de tes suites (c'est ce que tu viens de montrer). La base  \varphi^{-1}(BC) est la façon la plus simple de le faire. Les suites associées aux  e^{(i)} ne sont pas forcément simples, mais les p premiers éléments le sont.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100434#msg2100434 Posté le 02-11-08 à 19:59
Posté par ProfilGuillau Guillau

Donc ma matrice sera une matrice avec des 1 partout sur la diagonale?
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100450#msg2100450 Posté le 02-11-08 à 20:03
Posté par Profiltringlarido tringlarido

ça dépend de ton application !

Si ton application est :

 u = (u_n)_n \mapsto 2u = (2*u_n)_n

sa matrice ne peut pas avoir seulement des 1 sur la diagonale.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100457#msg2100457 Posté le 02-11-08 à 20:03
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Quelle est l'application en question ?
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100487#msg2100487 Posté le 02-11-08 à 20:11
Posté par ProfilGuillau Guillau

C'ets l'application f: FF
                             uw


avec w=un+1
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100504#msg2100504 Posté le 02-11-08 à 20:15
Posté par Profiltringlarido tringlarido

OK...

As-tu montré que F était bien stable ?

Il suffit de calculer les  f(e^{(i)} .

En tout cas, il n'y a pas de 1 sur la diagonale... sinon ça voudrait dire que  f(e) = e , ce qui est loin d'être le cas !
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100546#msg2100546 Posté le 02-11-08 à 20:29
Posté par ProfilGuillau Guillau

On a f(e(i))=e(i+1)


On a donc f(F) F


Il me faut donc une matrice qui me decale les valeurs de la matrice de u
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100561#msg2100561 Posté le 02-11-08 à 20:33
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Attention ta formule est bonne que pour i=0,..,p-2 !

Une matrice est facile à écrire : on écrit dans la ième colonne l'image du ième vecteur... (dans la base  \varphi^{-1}(BC) ).
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100591#msg2100591 Posté le 02-11-08 à 20:47
Posté par ProfilGuillau Guillau

C'est vrai j'ais donc facilement les  p-1 premiere colonne de ma matrice.Le seul probleme vient de vp-1.

Mais si vp-1=up

J'ais le droit de dire que j'ais un 0 au niveau de ma premiere ligne et de mon avant derniere colonne de ma matrice , ou est-ce incorrect?
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100594#msg2100594 Posté le 02-11-08 à 20:48
Posté par ProfilGuillau Guillau

Pardon je voulais dire au niveau de ma première ligne et de ma dernière colonne.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100695#msg2100695 Posté le 02-11-08 à 21:29
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Pourquoi la première ligne ?

Ecris moi tes p-1 premières colonnes...
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100697#msg2100697 Posté le 02-11-08 à 21:30
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Et que vaut  f(e^{(p)}) ?
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100767#msg2100767 Posté le 02-11-08 à 21:48
Posté par ProfilGuillau Guillau

Pour moi les p-1 premières colonnes sont:

000.....
100.....
010.....
001.....
    .
    .
000....1


et f(e(p))=0*e(1)
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100812#msg2100812 Posté le 02-11-08 à 22:03
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Je suis d'accord avec tes p-1 premières colonnes...

Par contre je trouve  f(e^{(p)}) = \frac{1}{\alpha_0} e^{(1)} .
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100849#msg2100849 Posté le 02-11-08 à 22:19
Posté par ProfilGuillau Guillau

Je ne comprends pas comment vous avez trouvé cela?
pour moi on a vp-1=up


d'ou le f(e(p))=0*e(1)
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100863#msg2100863 Posté le 02-11-08 à 22:26
Posté par Profiltringlarido tringlarido

La suite  f(e^{(p)}) est telle que :

 u_p = 1 \ u_{p-1} = 0 \ \ldots \ u_1 = 0

Il s'agit donc de déterminer  u_0 pour l'exprimer dans la base  \varphi^{-1}(BC) . Et ce  u_0 est tel que :

 1 = u_p = \alpha_0 u_0

d'où  f(e^{(p)}) = 1 / \alpha_0 e^{(1)}
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100877#msg2100877 Posté le 02-11-08 à 22:31
Posté par ProfilGuillau Guillau

Ah merci bien j'ais compris mon erreur. En tout cas je vous remerci d'avoir pris autant de temps pour m'expliquer.Bonne soirée.
re : isomorphisme d'espace vectoriel#msg2100903#msg2100903 Posté le 02-11-08 à 22:39
Posté par Profiltringlarido tringlarido

Je suis content que tu aies compris. Au plaisir.

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